[论文解读] Sublinear Algorithms and Lower Bounds for Metric TSP Cost Estimation

Yu Chen, Sampath Kannan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 2

一句话总结

该论文首次提出了用于估计度量TSP代价的亚线性时间算法，其近似因子严格优于2，实现了在Õ(n)时间内对图TSP达到(2−ε₀)-近似，在Õ(n^{1.5})时间内对(1,2)-TSP达到1.625-近似。此外，论文建立了任何(1+ε₀)-近似算法的Ω(n²)查询下界，揭示了度量TSP与度量MST之间在亚线性估计中存在根本性差距。

ABSTRACT

We consider the problem of designing sublinear time algorithms for estimating the cost of a minimum metric traveling salesman (TSP) tour. Specifically, given access to a $n imes n$ distance matrix $D$ that specifies pairwise distances between $n$ points, the goal is to estimate the TSP cost by performing only sublinear (in the size of $D$) queries. For the closely related problem of estimating the weight of a metric minimum spanning tree (MST), it is known that for any $\varepsilon > 0$, there exists an $ ilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$ time algorithm that returns a $(1 + \varepsilon)$-approximate estimate of the MST cost. This result immediately implies an $ ilde{O}(n/\varepsilon^{O(1)})$ time algorithm to estimate the TSP cost to within a $(2 + \varepsilon)$ factor for any $\varepsilon > 0$. However, no $o(n^2)$ time algorithms are known to approximate metric TSP to a factor that is strictly better than $2$. On the other hand, there were also no known barriers that rule out the existence of $(1 + \varepsilon)$-approximate estimation algorithms for metric TSP with $ ilde{O}(n)$ time for any fixed $\varepsilon > 0$. In this paper, we make progress on both algorithms and lower bounds for estimating metric TSP cost. We also show that the problem of estimating metric TSP cost is closely connected to the problem of estimating the size of a maximum matching in a graph.

研究动机与目标

• 设计用于估计度量TSP代价的亚线性时间算法，其近似比严格优于2。
• 识别阻碍在Õ(n)时间内实现(1+ε)-近似TSP代价估计的计算障碍。
• 在查询模型和流模型中，为(1+ε)-近似TSP代价估计建立紧致下界。
• 探索TSP代价估计与最大二分图匹配大小估计之间的联系。
• 理解度量TSP与度量MST在亚线性模型中的根本复杂性差异。

提出的方法

• 设计一种随机化Õ(n)-时间算法用于图TSP，利用具有大匹配或许多双连通分量的图的结构特性。
• 通过结合图分解与采样技术，分析图中块的数量和匹配大小，以估计TSP代价。
• 通过利用边权的二值特性并采用优化的采样策略，设计一种Õ(n^{1.5})-时间算法用于(1,2)-TSP。
• 通过从单向通信模型中的索引问题进行归约，证明下界，将通信复杂性转化为查询复杂性和空间复杂性。
• 在TSP代价估计与二分图中最大匹配大小估计之间建立紧密联系，证明任何TSP估计器均可用于在εn的加法误差内估计匹配大小。
• 利用已知的Ω(n²)下界用于匹配大小估计，推导出(1+ε₀)-近似TSP代价估计的Ω(n²)下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 亚线性时间算法能否实现度量TSP近似因子严格优于2？
• RQ2 是否存在根本性障碍，使得在Õ(n)时间内无法实现(1+ε)-近似TSP代价估计？
• RQ3 在亚线性模型中，TSP代价估计的时间与近似比之间最优权衡为何？
• RQ4 TSP代价估计的复杂性与度量MST代价估计的复杂性相比如何？
• RQ5 TSP代价估计能否被归约为或与最大二分图匹配大小估计问题相关联？

主要发现

• 一种随机化Õ(n)-时间算法实现了对图TSP的(2−ε₀)-近似，是首个近似因子严格低于2的亚线性算法。
• 一种Õ(n^{1.5})-时间算法实现了对(1,2)-TSP的1.625-近似，优于2-近似基线。
• 任何以(1+ε₀)-因子估计图TSP或(1,2)-TSP代价的算法，均需Ω(n²)次查询，证明了强下界。
• 任何对图TSP或(1,2)-TSP的(1+ε)-近似TSP代价估计器，均可用于在εn加法误差内估计最大二分图匹配大小。
• 单遍流算法若要在(2−ε)因子内近似图TSP代价，需Ω(εn)空间，与通信复杂性下界一致。
• 该论文建立了度量TSP与度量MST之间的清晰分界：虽然MST代价可在Õ(n)时间内实现(1+ε)-近似，但TSP代价无法在亚二次时间实现(1+ε)-近似。