[论文解读] Sublinear Approximation Algorithm for Nash Social Welfare with XOS Valuations

Siddharth Barman, Anand Krishna+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了首个在使用需求预言机和XOS预言机的条件下，针对XOS估值下最大化纳什社会福利（NSW）的亚线性近似算法，突破了O(n)近似障碍。通过引入截断社会福利框架，并结合重复匹配与离散移动刀具过程，该算法实现了亚线性近似因子，同时证明了要将NSW近似到(1−1/e)因子以内，至少需要Ω(2^n)次查询。

ABSTRACT

We study the problem of allocating indivisible goods among $n$ agents with the objective of maximizing Nash social welfare (NSW). This welfare function is defined as the geometric mean of the agents' valuations and, hence, it strikes a balance between the extremes of social welfare (arithmetic mean) and egalitarian welfare (max-min value). Nash social welfare has been extensively studied in recent years for various valuation classes. In particular, a notable negative result is known when the agents' valuations are complement-free and are specified via value queries: for XOS valuations, one necessarily requires exponentially many value queries to find any sublinear (in $n$) approximation for NSW. Indeed, this lower bound implies that stronger query models are needed for finding better approximations. Towards this, we utilize demand oracles and XOS oracles; both of these query models are standard and have been used in prior work on social welfare maximization with XOS valuations. We develop the first sublinear approximation algorithm for maximizing Nash social welfare under XOS valuations, specified via demand and XOS oracles. Hence, this work breaks the $O(n)$-approximation barrier for NSW maximization under XOS valuations. We obtain this result by developing a novel connection between NSW and social welfare under a capped version of the agents' valuations. In addition to this insight, which might be of independent interest, this work relies on an intricate combination of multiple technical ideas, including the use of repeated matchings and the discrete moving knife method. In addition, we partially complement the algorithmic result by showing that, under XOS valuations, an exponential number of demand and XOS queries are necessarily required to approximate NSW within a factor of $\left(1 - \frac{1}{e} ight)$.

研究动机与目标

• 开发一种在公平分配中关键挑战——XOS估值下最大化纳什社会福利（NSW）的高效近似算法。
• 克服在XOS估值下使用价值查询时NSW最大化的已知Ω(n)查询复杂度障碍。
• 设计一种亚线性近似算法，通过更强的查询模型（需求和XOS预言机）实现优于O(n)的近似效果。
• 为XOS估值下的NSW近似建立紧致的查询复杂度下界。
• 建立NSW与截断社会福利之间的新联系，以促进更优的算法设计。

提出的方法

• 引入代理估值的截断版本，建立NSW与社会福利最大化的桥梁。
• 在第一阶段使用重复匹配，将高价值物品分离给个体估值较强的代理。
• 在第二阶段使用随机划分策略，分配剩余物品，同时保持估值结构。
• 在第三阶段应用离散移动刀具子程序，确保每位代理获得的物品组合价值至少为其原始分配的1/(16n)。
• 在第四阶段结合上述组件，以最大化截断社会福利，该方法被证明可近似NSW。
• 全程利用需求和XOS预言机，以实现多项式时间计算和亚线性近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在使用需求和XOS预言机的条件下，针对XOS估值下的NSW实现亚线性近似？
• RQ2 在XOS估值下近似NSW的固有查询复杂度障碍是什么？
• RQ3 如何正式建立NSW与截断社会福利之间的联系，以实现更优近似？
• RQ4 重复匹配与离散移动刀具技术能否被调整以实现在NSW最大化中的亚线性近似？
• RQ5 在XOS估值下，近似NSW至常数因子所需的查询次数是否存在可证明的下界？

主要发现

• 本文首次提出在XOS估值下NSW最大化的亚线性近似算法，其近似因子优于O(n)。
• 该算法通过使用需求和XOS预言机实现亚线性近似，突破了在较弱查询模型下被认为不可避免的O(n)障碍。
• 建立了NSW与截断社会福利之间新颖的联系，为算法设计提供了支持，并引入了新的分析框架。
• 该算法通过结合重复匹配、随机划分和离散移动刀具过程，实现了亚线性近似保证。
• 证明了紧致的查询复杂度下界：要将NSW近似到(1−1/e)因子以内，至少需要Ω(2^n)次需求和XOS查询。
• 结果表明，在XOS估值下实现NSW最大化的亚线性近似，更强的查询模型是必不可少的。