[论文解读] Sublinear data structures for short Fréchet queries

Anne Driemel, Ioannis Psarros+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 36被引用 5

一句话总结

该论文提出了在Doubling空间中针对多边形曲线的近似离散Fréchet距离查询的次线性数据结构，特别适用于短查询曲线（k ≪ m）。它提出了一种确定性距离Oracle，空间复杂度为O((k log(ε⁻¹)ε⁻ᵈ)ᵏ)，查询时间为O(k²)，并提出了一种ANN数据结构，其在输入曲线复杂度上的依赖关系实现了指数级改进，两者在常数d维欧几里得空间中均实现了(1+ε)-近似。

ABSTRACT

We study metric data structures for curves in doubling spaces, such as trajectories of moving objects in Euclidean $\mathbb{R}^d$, where the distance between two curves is measured using the discrete Fréchet distance. We design data structures in an \emph{asymmetric} setting where the input is a curve (or a set of $n$ curves) each of complexity $m$ and the queries are with curves of complexity $k\ll m$. We show that there exist approximate data structures that are independent of the input size $N = d \cdot n \cdot m$ and we study how to maintain them dynamically if the input is given in the stream. Concretely, we study two types of data structures: (i) distance oracles, where the task is to store a compressed version of the input curve, which can be used to answer queries for the distance of a query curve to the input curve, and (ii) nearest-neighbor data structures, where the task is to preprocess a set of input curves to answer queries for the input curve closest to the query curve. In both cases we are interested in approximation. For curves embedded in Euclidean $\mathbb{R}^d$ with constant $d$, our distance oracle uses space in $\mathcal{O}((k \log(ε^{-1}) ε^{-d})^k)$ ($ε$ is the precision parameter). The oracle performs $(1+ε)$-approximate queries in time in $\mathcal{O}(k^2)$ and is deterministic. We show how to maintain this distance oracle in the stream using polylogarithmic additional memory. In the stream, we can dynamically answer distance queries to the portion of the stream seen so far in $\mathcal{O}(k^4 \log^2 m)$ time. We apply our techniques to the second problem, approximate near neighbor (ANN) data structures, and achieve an exponential improvement in the dependency on the complexity of the input curves compared to the state of the art.

研究动机与目标

• 设计高效的近似离散Fréchet距离查询数据结构，当查询曲线显著短于输入曲线（k ≪ m）时适用。
• 实现在输入大小N = d·n·m下与总输入大小无关的次线性空间复杂度，尤其在常数维欧几里得空间中。
• 在保持小而精确的压缩表示的同时，支持输入曲线的动态、流式处理，以实现实时距离查询。
• 通过减少对输入曲线复杂度的依赖，改进离散Fréchet距离下近似近邻（ANN）搜索的现有技术水平。
• 通过合并与归约框架构建可组合的coreset，实现流式Fréchet距离近似。

提出的方法

• 利用分层net-tree和基于ε-net的压缩技术，设计一种确定性距离Oracle，以存储输入曲线的压缩表示。
• 应用合并与归约框架，在流式模型中维护一个可组合的coreset，实现具有多对数内存开销的动态更新。
• 使用弱显式模型，高效访问εr覆盖球内的点，从而减少预处理和查询时间。
• 通过将查询曲线划分为k个段，每段由net中的一个球覆盖，并索引兼容的单元序列，构建查询代表。
• 对于ANN，使用随机化数据结构，每个单元维护一个查询代表的哈希表，利用Doubling性质和net分解。
• 通过使用确定性net构造和有界独立性，以较小的额外成本对ANN结构进行去随机化。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种离散Fréchet距离的数据结构，在查询曲线较短时实现(1+ε)-近似，且空间复杂度与输入曲线复杂度无关？
• RQ2 我们能否在具有多对数内存开销的流式环境中，动态维护此类数据结构？
• RQ3 我们能否在离散Fréchet距离下的近似近邻搜索中，实现对输入曲线复杂度依赖关系的指数级改进？
• RQ4 我们如何利用Doubling性质和可组合coreset来构建高效、适合流式处理的Fréchet距离数据结构？
• RQ5 在不对称情形（k ≪ m）下，近似精度、查询时间和空间使用之间的权衡是什么？

主要发现

• 该距离Oracle的空间复杂度为O((k log(ε⁻¹)ε⁻ᵈ)ᵏ)，支持O(k²)时间内的(1+ε)-近似查询，且为确定性结构。
• 流式距离Oracle通过多对数额外内存维护一个压缩表示，可在已处理的流上以O(k⁴ log²m)时间支持(1+ε)-近似查询。
• ANN数据结构的空间复杂度为n·O((k d³ᐟ² ε⁻¹)ᵈᵏ)，加上O(dnm)的输入存储空间，查询时间为O(dk)。
• 该ANN结构通过将输入曲线复杂度的指数依赖从O(mᵏ)降低到O((k d³ᐟ² ε⁻¹)ᵈᵏ)，实现了指数级改进，超越了现有技术水平。
• 随机化ANN结构可通过仅小幅增加空间和预处理时间实现去随机化，同时保持相同的查询时间和近似保证。
• 通过概率论证证明了ANN结构的正确性：在适当的net和划分参数下，将查询与真实近邻分离的概率至多为1/10。