[论文解读] Sublinear Expectations and Martingales in discrete time

Samuel N. Cohen, Shaolin Ji+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 21

一句话总结

本文在不假设主导概率测度的前提下，发展了离散时间下子线性期望与鞅的理论，将经典结果如可选停时和鞅收敛性推广至非线性设置。在有限状态空间中，建立了倒向随机差分方程（BSDEs）的存在性与比较定理，通过驱动函数与极集等价性将其与子线性期望联系起来。

ABSTRACT

We give a theory of sublinear expectations and martingales in discrete time. Without assuming the existence of a dominating probability measure, we derive the extensions of classical results on uniform integrability, optional stopping of martingales, and martingale convergence. We also give a theory of BSDEs in the context of sublinear expectations and a finite-state space, including general existence and comparison results.

研究动机与目标

• 将经典鞅理论推广至离散时间下的子线性期望，且不假设存在主导概率测度。
• 为子线性鞅建立一致可积性与收敛性理论。
• 在有限状态、离散时间系统中，建立倒向随机差分方程（BSDEs）的存在性与比较结果。
• 证明任一与给定子线性期望具有相同极集的子线性期望，均可表示为某个BSDE的解。
• 通过离散时间逼近，为连续时间$G$-期望提供理论基础。

提出的方法

• 通过一致性、单调性与次可加性公理化子线性期望，定义$ω$-一致的非线性期望。
• 引入$ω$-SL-期望的概念，结合单调连续性（Fatou性质）以增强鲁棒性。
• 应用$L^p$-空间理论与一致可积性，构造子线性鞅并推导收敛性结果。
• 在有限状态空间中，利用适应过程与正交增量，推导出离散时间鞅表示定理。
• 通过条件非线性期望与$G$-驱动函数构造BSDE的驱动函数$F$，确保其满足子线性性与连续性。
• 利用归纳法与非线性期望的正则性，证明BSDE的解满足由所导驱动函数所决定的后向动态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖主导概率测度的前提下，如何将可选停时与鞅收敛性推广至子线性期望？
• RQ2 在离散时间下，何种条件可保证子线性鞅的一致可积性与收敛性？
• RQ3 在有限状态系统中，是否每个与给定子线性期望具有相同极集的子线性期望，都可表示为某个BSDE的解？
• RQ4 离散时间$G$-期望如何通过逼近关系与连续时间$G$-期望关联？
• RQ5 在生成给定子线性期望的BSDE中，驱动函数的结构是怎样的？

主要发现

• 本文建立了子线性鞅的Doob分解，将经典结果推广至非线性设置。
• 在最小假设下，对$ω$-SL-期望证明了可选停时与鞅收敛定理，无需依赖拟连续版本。
• 在有限状态空间中，存在有限维鞅表示定理，可实现BSDE解的显式构造。
• 任一与参考期望具有相同极集的$ω$-SL-期望，均可表示为具有特定驱动函数的BSDE的解。
• 证明了BSDE中驱动函数$F$具有子线性性、正 homogeneous 性与连续性，满足比较定理的条件。
• 该理论为连续时间$G$-期望提供了离散时间基础，其收敛性在特定极限下成立，如文献[9]所述。