[论文解读] Sublinear Time Estimation of Degree Distribution Moments: The Degeneracy Connection

Talya Eden, Dana Ron+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的亚线性时间算法，用于在无向图中估计度分布矩，利用图的退化度实现显著改进的查询复杂度。对于有界退化度图（如子图封闭族和优先连接网络），该算法实现了最优界限——平均度估计仅需 Õ(1) 次查询，方差估计仅需 Õ(√n) 次查询，优于以往的最坏情况界限。

ABSTRACT

We revisit the classic problem of estimating the degree distribution moments of an undirected graph. Consider an undirected graph $G=(V,E)$ with $n$ vertices, and define (for $s > 0$) $μ_s = \frac{1}{n}\cdot\sum_{v \in V} d^s_v$. Our aim is to estimate $μ_s$ within a multiplicative error of $(1+ε)$ (for a given approximation parameter $ε>0$) in sublinear time. We consider the sparse graph model that allows access to: uniform random vertices, queries for the degree of any vertex, and queries for a neighbor of any vertex. For the case of $s=1$ (the average degree), $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ queries suffice for any constant $ε$ (Feige, SICOMP 06 and Goldreich-Ron, RSA 08). Gonen-Ron-Shavitt (SIDMA 11) extended this result to all integral $s > 0$, by designing an algorithms that performs $\widetilde{O}(n^{1-1/(s+1)})$ queries. We design a new, significantly simpler algorithm for this problem. In the worst-case, it exactly matches the bounds of Gonen-Ron-Shavitt, and has a much simpler proof. More importantly, the running time of this algorithm is connected to the degeneracy of $G$. This is (essentially) the maximum density of an induced subgraph. For the family of graphs with degeneracy at most $α$, it has a query complexity of $\widetilde{O}\left(\frac{n^{1-1/s}}{μ^{1/s}_s} \Big(α^{1/s} + \min\{α,μ^{1/s}_s\}\Big) ight) = \widetilde{O}(n^{1-1/s}α/μ^{1/s}_s)$. Thus, for the class of bounded degeneracy graphs (which includes all minor closed families and preferential attachment graphs), we can estimate the average degree in $\widetilde{O}(1)$ queries, and can estimate the variance of the degree distribution in $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ queries. This is a major improvement over the previous worst-case bounds. Our key insight is in designing an estimator for $μ_s$ that has low variance when $G$ does not have large dense subgraphs.

研究动机与目标

• 设计一种更高效且概念更简洁的亚线性时间算法，用于估计度分布矩。
• 将矩估计的查询复杂度与图的退化度这一衡量局部密度的结构性质联系起来。
• 通过利用现实世界图族中的低退化度，改进以往最坏情况下的查询复杂度界限。
• 证明对于有界退化度图，存在常数次查询的算法用于平均度估计。
• 建立知识退化度可使亚线性算法成为可能，而通用方法则需要 Ω(√n) 次查询。

提出的方法

• 该算法使用均匀随机顶点查询、度查询以及稀疏图模型中的邻居查询。
• 提出一种新的 μs 估计器，可在无大密集子图的图（即低退化度图）中保持低方差。
• 查询复杂度受 Õ(n^{1-1/s} α / μ_s^{1/s}) 限制，其中 α 为退化度，μ_s 为度分布的 s 阶矩。
• 该方法可自适应图的退化度，在有界退化度族中实现近乎常数的查询复杂度。
• 关键技术洞见是退化度控制估计器的方差，从而实现更紧的集中性界。
• 与 Gonen、Ron 和 Shavitt 的先前工作相比，该算法设计更简单，分析也显著简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用退化度等结构性质来改进度分布矩估计的查询复杂度？
• RQ2 在有界退化度图中，是否可能实现平均度估计的 Õ(1) 查询复杂度？
• RQ3 图的退化度是否可作为界定亚线性矩估计复杂度的有意义参数？
• RQ4 能否设计一种更简单的算法，其查询复杂度与先前工作相当，同时提供更好的结构洞见？
• RQ5 当退化度未知时，估计 μs 的固有查询复杂度是多少，即使对于有界退化度图族也是如此？

主要发现

• 对于退化度至多为 α 的图，该算法实现 Õ(n^{1-1/s} α / μ_s^{1/s}) 的查询复杂度，该结果在多对数因子内最优。
• 对于有界退化度图（如子图封闭族和优先连接图），平均度可在 Õ(1) 次查询内估计。
• 对于此类图，度分布的方差可在 Õ(√n) 次查询内估计，与一般图的最佳已知界限一致。
• 该算法在最坏情况下的查询复杂度与 Gonen、Ron 和 Shavitt 的算法相当，但设计和分析均显著简化。
• 退化度知识至关重要：任何必须适用于所有退化度 ≤2 的图的算法，在最坏情况下仍需 Ω(√n) 次查询。
• 下界结果表明，即使对于退化度为 2 的图，任何 c-有效算法也无法实现亚 √n 的查询复杂度，从而证明了该界限的紧致性。