[论文解读] Sublogarithmic Distributed Algorithms for Lov\\'asz Local lemma, and the Complexity Hierarchy

Manuela Fischer, Mohsen Ghaffari|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Privacy-Preserving Technologies in Data被引用 45

一句话总结

本文提出了一种针对有界度图上Lovász局部引理（LLL）的亚对数随机分布式算法，运行时间为 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 轮——显著优于先前的 $O(\log n)$ 上界。该结果使得所有 $o(\log n)$ 轮随机LCL问题自动加速，并为缺陷着色、贪婪着色和列表顶点着色问题提供了更高效的算法。

ABSTRACT

Locally Checkable Labeling (LCL) problems include essentially all the classic problems of $\\mathsf{LOCAL}$ distributed algorithms. In a recent enlightening revelation, Chang and Pettie [arXiv 1704.06297] showed that any LCL (on bounded degree graphs) that has an $o(\\log n)$-round randomized algorithm can be solved in $T_{LLL}(n)$ rounds, which is the randomized complexity of solving (a relaxed variant of) the Lov\\'asz Local Lemma (LLL) on bounded degree $n$-node graphs. Currently, the best known upper bound on $T_{LLL}(n)$ is $O(\\log n)$, by Chung, Pettie, and Su [PODC'14], while the best known lower bound is $\\Omega(\\log\\log n)$, by Brandt et al. [STOC'16]. Chang and Pettie conjectured that there should be an $O(\\log\\log n)$-round algorithm. Making the first step of progress towards this conjecture, and providing a significant improvement on the algorithm of Chung et al. [PODC'14], we prove that $T_{LLL}(n)= 2^{O(\\sqrt{\\log\\log n})}$. Thus, any $o(\\log n)$-round randomized distributed algorithm for any LCL problem on bounded degree graphs can be automatically sped up to run in $2^{O(\\sqrt{\\log\\log n})}$ rounds. Using this improvement and a number of other ideas, we also improve the complexity of a number of graph coloring problems (in arbitrary degree graphs) from the $O(\\log n)$-round results of Chung, Pettie and Su [PODC'14] to $2^{O(\\sqrt{\\log\\log n})}$. These problems include defective coloring, frugal coloring, and list vertex-coloring.

研究动机与目标

• 为随机分布式复杂度的Lovász局部引理（LLL）在 $\Omega(\log\log n)$ 下界与 $O(\log n)$ 上界之间填补差距。
• 为LLL提供一种亚对数算法，使所有在有界度图上运行时间在 $o(\log n)$ 轮以内的随机LCL问题实现自动加速。
• 通过利用新的LLL算法，改进关键图着色问题——缺陷着色、贪婪着色和列表顶点着色——的分布式复杂度。
• 确立LLL是亚对数分布式算法的完备问题，强化其在分布式计算中的基础性作用。

提出的方法

• 设计一种新颖的 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$-轮随机算法，用于求解 $n$ 个节点的有界度图上的LLL松弛变体。
• 对列表顶点着色采用迭代剪枝方法，每轮剪枝将颜色列表大小和冲突计数减少一半，使用LLL公式化。
• 将每轮剪枝公式化为满足多项式准则 $epd \leq 1$ 的LLL实例，确保高效LLL求解器的适用性。
• 在 $O(\log\log n)$ 轮剪枝迭代中递归应用LLL算法，将列表大小从 $L$ 降低至 $\Omega(1)$，从而实现最终的颜色选择。
• 对小 $L$ 的情况直接使用先前工作的LLL算法，并通过集中不等式和递归分解分析扩展至更大的 $L$。
• 利用LLL在亚对数LCL问题中的完备性：任何运行时间在 $o(\log n)$ 轮以内的随机LCL算法均可被加速至 $O(T_{LLL}(n))$ 轮。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Lovász局部引理的随机分布式复杂度降低至 $O\left(\log n\right)$ 以下，趋近于 $\Omega(\log\log n)$ 的下界？
• RQ2 该 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$-轮LLL算法是否能为所有在有界度图上运行时间在 $o(\log n)$ 轮以内的随机LCL问题提供自动加速？
• RQ3 该新LLL算法能否应用于改进列表顶点着色、缺陷着色和贪婪着色的分布式复杂度？
• RQ4 在 $n$ 个节点的有界度图上求解LLL的随机复杂度 $T_{LLL}(n)$ 的最紧上界是什么？
• RQ5 LLL如何在递归的、迭代的剪枝框架中被使用，以逐步减少图着色问题中的冲突大小和列表大小？

主要发现

• 本文确立了Lovász局部引理的随机分布式复杂度 $T_{LLL}(n)$ 为 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$，显著优于先前的 $O(\log n)$ 上界。
• 该新上界使得任何在有界度图上运行时间在 $o(\log n)$ 轮以内的局部可检查标记（LCL）问题的随机算法，均可自动加速至 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 轮内运行。
• 该算法将缺陷着色、贪婪着色和列表顶点着色的分布式复杂度从 $O(\log n)$ 降低至 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 轮，当列表大小约束中的常数 $C$ 足够大时成立。
• 对于列表大小 $L$ 且邻居冲突数满足 $|N_q(v)| \leq L/C$ 的列表顶点着色问题，只要 $C > 2e$ 是一个足够大的常数，该算法以高概率在 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 轮内完成。
• 该方法使用了 $O(\log\log n)$ 轮迭代剪枝步骤，每步均公式化为满足多项式准则 $epd \leq 1$ 的LLL实例，且每步均可在 $2^{O(\sqrt{\log\log n})}$ 轮内求解。
• 分析表明，即使在 $L$ 较小时，LLL公式化仍满足多项式准则，且由于集中不等式和依赖关系的递归处理，算法仍保持高效。