[论文解读] Submanifolds of codimension two attaining equality in an extrinsic inequality

Marcos Dajczer Ruy Tojeiro|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文提供了在 $n$-维欧几里得子流形中，对余维数为二且在涉及平均曲率向量与法曲率张量的外蕴标量曲率不等式中取等号的完整参数构造。该构造利用 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中的极小曲面及其共轭曲面，通过将共轭曲面位置向量的切向与法向分量组合成映射，实现对所得子流形的参数化。

ABSTRACT

We provide a parametric construction in terms of minimal surfaces of the Euclidean submanifolds of codimension two and arbitrary dimension that attain equality in an inequality due to De Smet, Dillen, Verstraelen and Vrancken. The latter involves the scalar curvature, the norm of the normal curvature tensor and the length of the mean curvature vector.

研究动机与目标

• 分类所有在点态不等式中涉及标量曲率、平均曲率与法曲率张量的 $n$-维欧几里得子流形（余维数为二），使其取等号。
• 通过极小曲面及其共轭曲面，提供此类子流形的构造性、显式参数化。
• 表征在共形变换（反演或立体投影）下，由秩为二的自守子流形所生成的子流形类。
• 通过广义 Weierstrass 表示，建立曲率不等式取等与 $\mathbb{C}^{n+2}$ 中全纯曲线之间的对应关系。
• 证明取等子流形类在环境空间 $\mathbb{R}^{n+2}$ 的共形变换下保持不变。

提出的方法

• 从一个单连通的极小曲面 $g: M^2 \to \mathbb{R}^{n+2}$ 出发，其全局共形等价于 $\mathbb{C}$ 或单位圆盘。
• 通过 $h_* = g_* \circ J$ 构造其共轭极小曲面 $h: M^2 \to \mathbb{R}^{n+2}$，其中 $J$ 为复结构。
• 将 $h$ 的位置向量相对于 $g$ 的切丛与法丛分解为：$h = g_* h^T + h^N$。
• 定义 $\Lambda$ 为 $g$ 的法丛中与 $h^N$ 正交的子丛，并令 $\Lambda_1$ 为其单位球丛。
• 通过 $\phi(y,w) = g(y) + g_* J h^T(y) + \|h^N(y)\| w$ 构造映射 $\phi: \Lambda_1 \to \mathbb{R}^{n+2}$。
• 证明 $\phi$ 在正则点处参数化了 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中一个 $n$-维子流形，且该子流形在曲率不等式中取等号。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中，哪些余维数为二的子流形在涉及平均曲率与法曲率张量的标量曲率不等式中取等号？
• RQ2 所有此类子流形是否均可通过 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中的极小曲面显式构造？
• RQ3 取等条件如何与形状算子和法丛的几何结构相关联？
• RQ4 共形不变性在取等子流形类中起何作用？
• RQ5 该构造如何推广至反演或立体投影下，取等子流形与自守子流形之间的关系？

主要发现

• 所有在 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中、$n \geq 3$、在曲率不等式中取等号且无脐点与极小点的 $n$-维子流形，均可通过由极小曲面及其共轭曲面定义的映射 $\phi$ 局部参数化。
• 该构造生成的子流形在每一点的形状算子具有方程 (1) 中 $\lambda = 0$ 的特定形式 $A_\eta$ 与 $A_\zeta$。
• 取等子流形类在环境空间 $\mathbb{R}^{n+2}$ 的共形变换下保持不变，因为形状算子的无迹部分按同一函数缩放。
• 在 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中的取等子流形恰好是秩为二的自守子流形在反演下的像，且此类子流形对应于满足 $\langle g, h \rangle = 0$ 与 $\langle g - P_0, g - P_0 \rangle = \langle h, h \rangle$ 的全纯曲线 $G = g + ih$。
• 与 $\mathcal{I} \circ f$ 关联的全纯曲线 $G$ 取值于特定复超曲面 $\mathcal{H}_{\epsilon 4d^2}$ 上，且 $\bar{\nu} = \bar{\lambda} = 0$ 的条件刻画了 $\mathcal{I} \circ f$ 为自守子流形的情形。
• 通过共轭极小曲面的参数构造，完整地描述了所有此类取等子流形的局部结构，推广了早期关于 $\mathbb{R}^4$ 中曲面的结果。