[论文解读] Submanifolds of symplectic manifolds with contact border

Francisco Presas|ArXiv.org|Jul 6, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文在具有接触边界的标准对称流形中构造了辛子流形，表明其边界为接触子流形。通过近似全纯技术及改进的 Jackson 型逼近定理，证明了相对 Lefschetz 超平面定理：包含映射在相对同调中诱导同构至维度 $n - r$，并在 $n - r$ 处为满射，其中子流形的庞加莱对偶为 $c_r(L^{\bigotimes k} \otimes E)$，当 $k$ 足够大时成立。结果提供了拓扑表征，并将辛不变量扩展至 sym-con 类别。

ABSTRACT

We construct symplectic submanifolds of symplectic manifolds with contact border. The boundary of such submanifolds is shown to be a contact submanifold of the contact border. We also give a topological characterization of the constructed submanifolds by means of a ``relative Lefschetz hyperplane Theorem''. We sketch some of the applications of the results.

研究动机与目标

• 在具有接触边界的辛流形中构造辛子流形（称为 sym-con 类别），使得子流形的边界是周围接触边界的接触子流形。
• 通过 sym-con 设置下的相对 Lefschetz 超平面定理，对这类子流形提供拓扑表征。
• 将近似全纯辛拓扑技术扩展至具有接触边界的场景，克服在边界附近延拓接触结构的困难。
• 为所构造的子流形建立陈类公式，将其几何性质与线丛和向量丛的示性类联系起来。

提出的方法

• 利用预量化的线丛 $L^{igotimes k} \otimes E$ 的近似全纯截面，构造辛子流形 $W_k \subset M$。
• 应用 Jackson 定理的改进版本，控制截面导数的逼近误差，确保在接触边界附近的横截性。
• 构造辛流形 $M$ 的双重 $M^d = M^1 \cup M^2$ 以分析相对同调，使用在扰动函数 $\hat{f}_k$ 上的 Morse 理论，其临界点的指标 $\geq n - r + 1$。
• 采用消去法与链分解技术，证明相对同调类 $H_j(\bar{W}_k, \bar{W}_k \cap C)$ 在 $j \leq n - r$ 时同构于 $H_j(\bar{M}, C)$，利用对合 $e$ 下的对称性。
• 通过法丛关系 $i^*c(TX) = i^*c(E \otimes L^{\bigotimes k}) \cdot c(TW_k)$ 推导出子流形 $W_k$ 的陈类公式。
• 通过构造在 $C$ 的邻域内解决边界附近横截性问题的全局截面，将证明归约为边界附近的横截性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有接触边界的辛流形中构造具有接触边界的辛子流形，使得其边界是周围边界的接触子流形？
• RQ2 在 sym-con 类别中，相对 Lefschetz 超平面定理是否成立，将子流形的相对同调与周围流形的同调联系起来？
• RQ3 此类子流形的拓扑不变量能否通过示性类（特别是陈类）来表征？
• RQ4 近似全纯方法如何适应 sym-con 设置中的边界条件，其中标准构造方法不可用？

主要发现

• 当 $k$ 足够大时，存在辛子流形 $W \subset M$，其庞加莱对偶为 $c_r(L^{\bigotimes k} \otimes E)$，且 $\bar{W} \cap C$ 是 $C$ 的接触子流形。
• 包含映射 $i: \bar{W} \to \bar{M}$ 在相对同调中诱导同构 $H_p(\bar{W}, \bar{W} \cap C) \to H_p(\bar{M}, C)$ 对于 $p < n - r$，在 $p = n - r$ 时为满射，从而确立了相对 Lefschetz 超平面定理。
• 所构造子流形 $W_k$ 的陈类满足 $c_l(TW_k) = (-1)^l \binom{r + l - 1}{l} (k[\omega/2\pi])^l + O(k^{l-1})$，将几何与示性类联系起来。
• 该方法通过构造在逼近理论下受控且横截的全局截面，避免了在边界附近直接延拓接触结构。
• 即使在可积复结构情形，这些拓扑结果也是全新的，揭示了 sym-con 流形中更深层的结构。
• 证明依赖于双重构造 $M^d = M^1 \cup M^2$ 及对合 $e$ 下的对称性，通过链分解与消去法实现同调比较。