[论文解读] Submanifolds with harmonic mean curvature vector field in contact 3-manifolds

Jun-ichi Inoguchı|ArXiv.org|Oct 16, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文研究了3维Sasakian空间形式中具有调和平均曲率向量场的子流形及多调和映射。它将3球面的结果推广到具有常全纯截面曲率 $c$ 的一般Sasakian空间形式，证明当 $c > 1$ 时，非极小多调和Hopf圆柱存在，具体为曲率为 $√c-1$ 的黎曼圆周，从而解决了关于齐性空间中非极小、非脐多调和曲面的猜想。

ABSTRACT

Biharmonic or polyharmonic curves and surfaces in 3-dimensional contact manifolds are investigated.

研究动机与目标

• 将关于双调和与多调和子流形的结果从3球面推广到一般的3维Sasakian空间形式。
• 研究平均曲率向量场的调和性及其与双调和性和多调和性的关系。
• 在Sasakian空间形式中，对满足 $\Delta\mathbb{H} = \lambda\mathbb{H}$ 或 $\mathscr{T}_2(\iota) = 0$ 的Legendre曲线和Hopf圆柱进行分类。
• 确定在齐性黎曼流形中非极小、非完全脐多调和曲面存在的条件。
• 将雅可比算子和稳定性条件的研究扩展到Sasakian几何中的子流形。

提出的方法

• 本研究使用Sasakian空间形式中常全纯截面曲率 $c$ 特有的Levi-Civita联络和曲率公式。
• 应用双张力场 $\mathscr{T}_2(\phi)$ 定义双调和映射，并推导出Hopf圆柱满足 $\mathscr{T}_2(\iota) = -2\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H})$ 的条件。
• 通过第二基本形式和曲率项计算雅可比算子 $\mathcal{J}_\iota$，得到 $\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H}) = 6HH'\mathbf{t} - (H'' - 4H^3 + (c-1)H)\mathbf{n} - 2H'\xi$。
• 分析依赖于与Hopf圆柱结构及Reeb向量场相适应的正交标架场 $\{\mathbf{t}, \xi\}$。
• 通过设定 $H' = 0$ 解条件 $\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H}) = \lambda\mathbb{H}$，得到 $H = 0$ 或 $\lambda = 4H^2 + 1 - c$。
• 利用Legendre曲线在 $M^3(c)$ 中的曲率恒等式 $R(\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_1)\mathbf{p}_1 = c\mathbf{p}_2$ 推导出多调和性条件 $\kappa^2 = c - 1$，$\tau = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在3维Sasakian空间形式中，Legendre曲线在何种条件下满足 $\Delta\mathbb{H} = \lambda\mathbb{H}$？
• RQ2 在全纯截面曲率 $c > 1$ 的Sasakian空间形式中，是否存在非极小多调和Hopf圆柱？
• RQ3 在齐性黎曼流形中，是否存在非极小、非完全脐多调和曲面？
• RQ4 雅可比算子 $\mathcal{J}_\iota$ 在刻画Hopf圆柱多调和浸入中的作用是什么？
• RQ5 Sasakian空间形式的全纯截面曲率 $c$ 如何影响多调和子流形的存在性？

主要发现

• 当 $c \leq 1$ 时，$M^3(c)$ 中所有多调和Legendre曲线均为测地线。
• 当 $c > 1$ 时，多调和Legendre曲线为测地线或曲率为常数 $\sqrt{c - 1}$ 的螺旋线。
• 在全纯截面曲率 $c > 1$ 的Sasakian空间形式中，存在非极小多调和Hopf圆柱，具体为基曲线为曲率 $\sqrt{c - 1}$ 的黎曼圆周时。
• 当且仅当平均曲率 $H$ 为常数且 $\lambda = 4H^2 + 1 - c$（$H \neq 0$ 时）或 $H = 0$ 时，雅可比算子条件 $\mathcal{J}_\iota(\mathbb{H}) = \lambda\mathbb{H}$ 成立。
• 多调和Hopf圆柱的基曲线必须为测地线或黎曼圆周，后者仅在 $c > 1$ 且 $\bar{\kappa} = \sqrt{c - 1}$ 时出现。
• 本文证实了在Sasakian空间形式中存在非极小、非完全脐多调和曲面，从而将先前在 $S^3$ 中的结果推广至更一般情形。