[论文解读] Submetrizability of strongly topological gyrogroups

Meng Bao, Fucai Lin|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2020

Mathematics and Applications参考文献 15被引用 12

一句话总结

该论文证明了：若一个 $T_0$-强拓扑gyrogroup具有可数伪特征，则其为完全正规且次度量空间。此外，当 $H$ 是一个 $T_0$-强拓扑gyrogroup $G$ 的可接受 $L$-子gyrogroup时，其左陪集空间 $G/H$ 也是次度量空间，通过构造一个伪度量并结合商拓扑论证，将拓扑群的关键性质推广到了非结合的gyrogroup设定中。

ABSTRACT

Topological gyrogroups, with a weaker algebraic structure without associative law, have been investigated recently. We prove that each $T_{0}$-strongly topological gyrogroup is completely regular. We also prove that every $T_{0}$-strongly topological gyrogroup with a countable pseudocharacter is submetrizable. Finally, we prove that the left coset space $G/H$ is submetrizable if $H$ is an admissible $L$-subgyrogroup of a $T_{0}$-strongly topological gyrogroup $G$.

研究动机与目标

• 将拓扑群的基本拓扑性质推广至强拓扑gyrogroup的非结合设定中。
• 研究 $T_0$-强拓扑gyrogroup 是否满足完全正规性与次度量性的条件。
• 确定当 $H$ 是一个可接受 $L$-子gyrogroup时，左陪集空间 $G/H$ 的拓扑结构。
• 将已知的关于拓扑群的度量性与正则性结果推广至gyrogroup。

提出的方法

• 基于嵌套的邻域序列构造实值函数 $N(x)$，并据此在gyrogroup $G$ 上定义伪度量 $d(x,y) = |N(x) - N(y)|$。
• 证明对所有 $x \in G$ 和 $h \in H$，有 $N(x \bigoplus h) = N(x)$，表明该函数在子群 $H$ 的左平移下保持不变。
• 在 $G$ 上定义伪度量 $d$，并利用它通过 $\varrho(\pi_H(x), \pi_H(y)) = d(\ominus x \oplus y, 0) + d(\ominus y \oplus x, 0)$ 在商空间 $G/H$ 上诱导出一个度量 $\varrho$。
• 利用gyrogroup运算的性质与旋转自同构的性质，验证 $\varrho$ 满足度量公理，包括三角不等式。
• 证明 $\varrho$ 在 $G/H$ 上诱导的拓扑弱于商拓扑，从而证明 $G/H$ 的次度量性。
• 应用已知结论：每个完全正规的次度量空间都是Dieudonné完备的，由此推导出一个关于完备性的推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $T_0$-强拓扑gyrogroup 是否都是完全正规的？
• RQ2 $T_0$-强拓扑gyrogroup 若具有可数伪特征，是否允许存在一个更弱的度量拓扑？
• RQ3 当 $H$ 是 $G$ 的一个可接受 $L$-子gyrogroup时，左陪集空间 $G/H$ 在何种条件下是次度量空间？
• RQ4 拓扑群的拓扑性质能否被推广至强拓扑gyrogroup的非结合设定中？

主要发现

• 每个 $T_0$-强拓扑gyrogroup 都是完全正规的，这一性质扩展了在拓扑群中已知的结果。
• 每个具有可数伪特征的 $T_0$-强拓扑gyrogroup 都是次度量空间，即其允许存在一个更弱的度量拓扑。
• 若 $H$ 是 $T_0$-强拓扑gyrogroup $G$ 的一个可接受 $L$-子gyrogroup，则其左陪集空间 $G/H$ 是次度量空间。
• 所构造的伪度量 $d(x,y) = |N(x) - N(y)|$ 在 $H$ 的元素左平移下保持不变，从而使得在 $G/H$ 上可以定义一个行为良好的度量。
• $G/H$ 上的度量 $\varrho$ 是良定义的，并且满足三角不等式，确保其为真正的度量。
• 作为推论，每个具有可数伪特征的 $T_0$-强拓扑gyrogroup 都是Dieudonné完备的。