[论文解读] Submodular Cost Allocation Problem and Applications

Chandra Chekuri, Alina Ene|arXiv (Cornell University)|May 10, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了最小子模代价分配（MSCA）问题，这是一种通过最小化子模代价之和来对集合进行划分的通用框架。该文利用子模函数的Lovász扩展提出了一种凸规划松弛方法，并发展了舍入技术，实现了对超图多路划分问题的(1.5−1/k)-近似，以及对超图多路切割问题的min{2(1−1/k), HΔ}-近似，统一并改进了关于设施选址、标记和切割问题的先前结果。

ABSTRACT

We study the Minimum Submodular-Cost Allocation problem (MSCA). In this problem we are given a finite ground set $V$ and $k$ non-negative submodular set functions $f_1 ,..., f_k$ on $V$. The objective is to partition $V$ into $k$ (possibly empty) sets $A_1 ,..., A_k$ such that the sum $\sum_{i=1}^k f_i(A_i)$ is minimized. Several well-studied problems such as the non-metric facility location problem, multiway-cut in graphs and hypergraphs, and uniform metric labeling and its generalizations can be shown to be special cases of MSCA. In this paper we consider a convex-programming relaxation obtained via the Lovász-extension for submodular functions. This allows us to understand several previous relaxations and rounding procedures in a unified fashion and also develop new formulations and approximation algorithms for several problems. In particular, we give a $(1.5 - 1/k)$-approximation for the hypergraph multiway partition problem. We also give a $\min\{2(1-1/k), H_Δ\}$-approximation for the hypergraph multiway cut problem when $Δ$ is the maximum hyperedge size. Both problems generalize the multiway cut problem in graphs and the hypergraph cut problem is approximation equivalent to the node-weighted multiway cut problem in graphs.

研究动机与目标

• 将最小子模代价分配（MSCA）问题形式化并作为设施选址、多路切割和标记问题的推广进行研究。
• 利用子模函数的Lovász扩展，为MSCA问题开发一种凸规划松弛方法。
• 统一并推广现有针对非度量设施选址和超图切割等问题的线性规划松弛与舍入方案。
• 为超图多路划分与多路切割问题提供具有可证明性能保证的新近似算法。
• 分析所提松弛方法的整数规划间隙，并为特殊情况建立紧致界。

提出的方法

• 将MSCA表述为在基集V的k个子集划分上最小化子模函数f_i(A_i)之和的优化问题。
• 利用Lovász扩展将离散子模函数转化为[0,1]^n上的凸函数，从而实现凸松弛。
• 定义一个带有变量x(v,i)的凸规划（LE-Rel），表示元素v对集合i的分数分配，其中满足约束∑_i x(v,i) = 1 且 x(v,i) ≥ 0。
• 应用KT-舍入与SymSubLabel-舍入：在每次迭代中，随机选择一个标签i和阈值θ ∈ [0,1]，若x(v,i) ≥ θ则将v分配至A_i。
• 通过边分裂与阈值穿越的概率界分析舍入解的期望代价与切割值。
• 利用子模性与Lovász扩展的结构，将期望代价相对于分数解进行有界控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lovász扩展能否用于推导出统一并推广现有松弛方法的MSCA问题的凸松弛？
• RQ2 基于Lovász的MSCA凸松弛在非单调与单调子模函数下的整数规划间隙是多少？
• RQ3 能否利用该框架为超图多路划分与多路切割问题设计改进的近似算法？
• RQ4 近似保证如何依赖于k（划分数量）和Δ（最大超边大小）等结构参数？
• RQ5 舍入技术能否在均匀度量标记与节点加权多路切割等问题中实现紧致界？

主要发现

• 本文通过Lovász松弛与KT-舍入，实现了对超图多路划分问题的(1.5 − 1/k)-近似。
• 对于超图多路切割问题，提出了min{2(1−1/k), HΔ}-近似，其中HΔ为Δ次调和数。
• 即使各个g_i均为模函数，LE-Rel松弛的整数规划间隙至少为Δ(1−1/k)，适用于子标签问题中的超图分离代价。
• 对于单调子模函数，舍入解的期望代价被有界为O(ln n)倍的分数代价。
• 分析表明，KT-舍入中切割超边e的概率至多为Δ·d(e)，从而保证了期望切割代价的有界性。
• 该框架通过单一凸松弛与舍入方案，统一并推广了先前关于非度量设施选址、多路切割与标记问题的研究结果。