[论文解读] Submodular Cost Submodular Cover with an Approximate Oracle

Victoria G. Crawford, Alan Kuhnle+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 5

一句话总结

本文针对使用近似值预言机而非精确值预言机时的子模成本子模覆盖（SCSC）问题，提出了两种新颖的近似比。通过适应性地改进收费论证方法以处理 $\epsilon$-近似替代函数，证明了当最小边际收益超过 $\epsilon$ 时，贪心算法仍能保持强近似保证。主要贡献在于即使在函数评估存在噪声或不精确的情况下，也能提供实用且可计算的近似质量边界，该结论在社交网络中的影响力最大化任务中得到验证。

ABSTRACT

In this work, we study the Submodular Cost Submodular Cover problem, which is to minimize the submodular cost required to ensure that the submodular benefit function exceeds a given threshold. Existing approximation ratios for the greedy algorithm assume a value oracle to the benefit function. However, access to a value oracle is not a realistic assumption for many applications of this problem, where the benefit function is difficult to compute. We present two incomparable approximation ratios for this problem with an approximate value oracle and demonstrate that the ratios take on empirically relevant values through a case study with the Influence Threshold problem in online social networks.

研究动机与目标

• 为解决在真实应用中难以获取精确值预言机时 SCSC 问题近似保证的空白。
• 在 $f$ 难以直接计算的前提下，为贪心算法在 $\epsilon$-近似预言机下的表现推导近似比。
• 提供两个不可比较的近似比——一个需要访问 $f$，另一个仅依赖于替代函数 $F$——以在准确性和实用性之间取得平衡。
• 使用社交网络中影响力阈值问题的平均可达性图样预言机，对理论边界的实证验证。

提出的方法

• 提出对 Wan 等人（2010）收费论证方法的创新适应，用于分析在 $\epsilon$-近似预言机下贪心算法的性能，假设最小边际收益超过 $\epsilon$。
• 推导定理 1，该近似比需要查询真实函数 $f$ 以计算，但能提供更紧致的边界。
• 推导定理 2，该近似比仅依赖于替代函数 $F$，因此可在不访问 $f$ 的情况下实际计算。
• 采用 Cohen 等人（2014）提出的平均可达性图样，作为社交网络中影响力函数的非子模 $\epsilon$-近似。
• 使用真实世界数据集（Facebook 和 GrQc）评估在不同预言机误差 $\epsilon$ 和阈值 $\tau$ 下的近似比。
• 计算精确比值（使用 $f$）和上界（仅使用 $F$），以比较理论保证与实际可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能获得对收益函数 $f$ 的 $\epsilon$-近似预言机时，SCSC 问题的贪心算法能否维持强近似保证？
• RQ2 在最小边际收益超过 $\epsilon$ 的前提下，SCSC 问题在近似预言机下的贪心算法近似比是多少？
• RQ3 在仅能访问替代函数 $F$ 的情况下，定理 1 和定理 2 的理论近似比在实践中如何比较？
• RQ4 所推导的近似比在真实世界应用（如社交网络中的影响力阈值）中是否具有实际相关性？

主要发现

• 定理 1 的近似比（需要访问真实函数 $f$）比仅依赖于替代函数 $F$ 的定理 2 上界更紧致。
• 在 Facebook 数据集中，由于高收益节点被选中后边际收益迅速下降，近似比随阈值 $\tau$ 增大而更快恶化。
• 在 GrQc 数据集中，边际收益更持久，导致近似比随 $\tau$ 增大而缓慢下降。
• 更小的预言机误差 $\epsilon$ 显著提升了近似比，且随着 $\epsilon$ 减小，两个理论边界的性能均得到改善。
• 定理 2 的比值上界仅依赖于替代函数 $F$，因此可在 $f$ 难以计算的实际部署场景中实用化。
• 当 $\epsilon = 0$ 时，定理 2 的比值退化为 SCSC 问题的一个新近似比，该比值与现有边界不可比较，构成新的理论贡献。