[论文解读] Submodular Functions: Extensions, Distributions, and Algorithms. A Survey

Shaddin Dughmi|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 28

一句话总结

本综述提出了一种通过连续扩展及其相关概率分布来优化子模函数的统一框架，展示了这些分布如何实现高效的近似算法。该研究提出了一种新型多项式时间2-近似算法，用于在值查询模型下，对满足基数约束的非负对称子模函数进行最小化。

ABSTRACT

Submodularity is a fundamental phenomenon in combinatorial optimization. Submodular functions occur in a variety of combinatorial settings such as coverage problems, cut problems, welfare maximization, and many more. Therefore, a lot of work has been concerned with maximizing or minimizing a submodular function, often subject to combinatorial constraints. Many of these algorithmic results exhibit a common structure. Namely, the function is extended to a continuous, usually non-linear, function on a convex domain. Then, this relaxation is solved, and the fractional solution rounded to yield an integral solution. Often, the continuous extension has a natural interpretation in terms of distributions on subsets of the ground set. This interpretation is often crucial to the results and their analysis. The purpose of this survey is to highlight this connection between extensions, distributions, relaxations, and optimization in the context of submodular functions. We also present the first constant factor approximation algorithm for minimizing symmetric submodular functions subject to a cardinality constraint.

研究动机与目标

• 通过连续扩展和概率分布的统一视角，整合现有的子模函数优化算法研究成果。
• 利用这种分布视角，简化并重构已知的子模最大化与最小化结果。
• 提出一种针对满足基数约束的非负对称子模函数最小化问题的新型多项式时间2-近似算法。
• 强调自然分布在线性松弛中在子模优化中的作用。

提出的方法

• 使用洛瓦兹扩展作为子模函数的连续松弛，实现在单位立方体上的凸优化。
• 利用洛瓦兹扩展的分布解释，即从分布 D^L(x) 中抽取时，f 的期望值等于 L_f(x)。
• 基于分布 D^L(x) 中大小至多为 n+1 的支撑集，应用一种随机舍入策略。
• 设计一种两阶段算法：首先在 D^L(x) 的支撑集中检查是否存在低代价集合；若不存在，则使用一对 (v1, v2) 指导基于割的搜索。
• 利用 f 的对称性和子模性，在最终舍入步骤中对 S' 的两个互补子集中的较小者进行代价有界。
• 采用值查询模型，允许对任意子集查询 f，确保算法在多项式时间内运行。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将子模函数的连续扩展与概率分布联系起来，以改进算法设计？
• RQ2 子模扩展的分布解释是否能带来更简洁、更统一的现有近似算法证明？
• RQ3 在基数约束下，对称子模函数最小化问题可达到的近似保证是什么？
• RQ4 能否在值查询模型下设计出对称子模最小化问题的多项式时间算法，且具有有界近似比？

主要发现

• 本文提出了一种在值查询模型下，针对满足基数约束的非负对称子模函数最小化问题的新型2-近似算法，且运行时间在多项式时间内。
• 该算法通过利用洛瓦兹扩展的分布结构以及一种两阶段舍入策略，实现了2-近似。
• 若在 D^L(x) 的支撑集中未找到大小至多为 k 的低代价集合，则存在一个大小至多为 2k 的集合 S'，使得 f(S') ≤ L_f(x)，从而确保算法进展。
• 对于任意一对 (v1, v2)，其中 v1 属于最优解而 v2 不属于，该算法可找到一个集合 T，使得 f(T) ≤ OPT，从而实现有效的基于割的优化。
• T ∩ S' 及其补集中的较小者大小在 1 到 k 之间，且代价至多为 2·OPT，从而确保得到一个有效的2-近似解。
• 该框架通过证明具有自然分布的连续扩展可产生算法实用性，统一了现有的子模优化研究成果。