[论文解读] Submodular maximization with nearly-optimal approximation and adaptivity in nearly-linear time

Alina Ene, Huy L. Nguyên|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 30

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在基数约束下最大化单调亚模函数，通过仅使用 O(log n / ε²) 轮适应性，实现了 (1 − 1/e − ε) 的近似比——与之前的方法相比，显著减少了顺序轮次——同时在函数评估和额外计算方面保持了近乎线性的时间复杂度。

ABSTRACT

In this paper, we study the tradeoff between the approximation guarantee and adaptivity for the problem of maximizing a monotone submodular function subject to a cardinality constraint. The adaptivity of an algorithm is the number of sequential rounds of queries it makes to the evaluation oracle of the function, where in every round the algorithm is allowed to make polynomially-many parallel queries. Adaptivity is an important consideration in settings where the objective function is estimated using samples and in applications where adaptivity is the main running time bottleneck. Previous algorithms achieving a nearly-optimal 1 − 1/e − e approximation require Ω(n) rounds of adaptivity. In this work, we give the first algorithm that achieves a 1 − 1/e − e approximation using O(In n/e2) rounds of adaptivity. The number of function evaluations and additional running time of the algorithm are O(n poly(logn, 1/e)).

研究动机与目标

• 解决亚模最大化中的高适应性瓶颈，其中适应性指的是函数查询的顺序轮次。
• 改进先前的算法，这些算法虽实现了 (1 − 1/e − ε) 的近似比，但需要 Ω(n) 轮适应性。
• 设计一种算法，在大幅减少顺序轮次的同时，保持近乎最优的近似比。
• 在函数评估和额外计算方面实现近乎线性的时间复杂度，使其适用于大规模应用。

提出的方法

• 利用一种新颖的自适应采样策略，在各轮次中平衡探索与利用，以减少顺序查询的次数。
• 采用多轮并行查询框架，每轮并行发出多项式数量的查询，最小化顺序依赖性。
• 引入递归划分机制，在减少每轮的有效问题规模的同时，保持近似保证。
• 应用浓度不等式和亚模曲率分析，确保在适应性减少的情况下，(1 − 1/e − ε) 的近似比仍能保持。
• 通过根据当前近似误差动态调整采样深度，将轮次数优化至 O(log n / ε²)。
• 在每轮中集成一种快速贪心选择过程，以保持高边际收益，同时最小化冗余评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在基数约束下，以远少于 Ω(n) 轮顺序轮次，实现单调亚模最大化问题的 (1 − 1/e − ε) 近似？
• RQ2 是否可能将适应性降低至 O(log n / ε²)，同时在函数评估方面保持近乎线性的时间复杂度？
• RQ3 哪些技术能够实现近似质量与适应性之间的权衡，而不牺牲性能？
• RQ4 如何设计并行查询调度，以在更少的顺序轮次中保持亚模近似保证？
• RQ5 递归划分与自适应采样能否协同作用，同时实现低适应性和高近似精度？

主要发现

• 所提出的算法在基数约束下实现了单调亚模最大化的 (1 − 1/e − ε) 近似比。
• 顺序轮次（适应性）被减少至 O(log n / ε²)，与先前几乎最优算法所需的 Ω(n) 轮相比有显著改进。
• 函数评估的总次数为 O(n · poly(log n, 1/ε))，实现了近乎线性的时间复杂度。
• 函数评估之外的额外运行时间也为 O(n · poly(log n, 1/ε))，确保整体效率。
• 通过每轮允许多项式数量的查询，该算法保持了高度并行性，使其适用于大规模应用。
• 理论分析证实，尽管适应性减少，近似保证仍能保持，这得益于浓度不等式和亚模性质。