[论文解读] Submodular Order Functions and Assortment Optimization

Rajan Udwani|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 7

一句话总结

本文引入了子模序函数——一种单调、次可加的集合函数，其在基集的特定排列下表现出有限形式的子模性。该文提出了一种针对基数约束最大化问题的 0.5−ϵ 近似算法，查询复杂度为 O(n/ϵ log n)，并证明在多项式查询下 0.5 几乎是可能达到的最佳保证。该方法进一步扩展至预算约束和拟阵约束，实现了在 MNL 和马尔可夫选择模型下受限组合优化的首次常数因子近似。

ABSTRACT

We define a new class of set functions that in addition to being monotone and subadditive, also admit a very limited form of submodularity defined over a permutation of the ground set. We refer to this permutation as a submodular order. This class of functions includes monotone submodular functions as a sub-family. We give fast algorithms with strong approximation guarantees for maximizing submodular order functions under a variety of constraints and show a nearly tight upper bound on the highest approximation guarantee achievable by algorithms with polynomial query complexity. Applying this new notion to the problem of constrained assortment optimization in fundamental choice models, we obtain new algorithms that are both faster and have stronger approximation guarantees (in some cases, first algorithm with constant factor guarantee). We also show an intriguing connection to the maximization of monotone submodular functions in the streaming model, where we recover best known approximation guarantees as a corollary of our results.

研究动机与目标

• 为解决在标准查询模型下，对单调次可加函数在基数约束下的最大化问题缺乏常数因子近似这一难题。
• 引入一种新的结构类别——子模序函数，其推广了子模函数，并可支持高效的近似算法。
• 为在一般选择模型（如 MNL 和马尔可夫模型）下的受限组合优化问题，提供首次常数因子近似保证。
• 建立紧致的查询复杂度界限，证明在多项式查询下，基数约束最大化问题的最优近似比为 0.5。
• 探索子模序函数与流式子模最大化之间的联系，将已知结果作为主定理的推论恢复。

提出的方法

• 定义子模序为一种排列 π，使得向集合 A 添加元素时，其边际增益不超过向任意子集 B⊆A 添加元素时的增益，前提是添加元素位于 π 中 A 的右侧。
• 提出一种贪心式算法，基于边际增益迭代地将元素加入当前解，利用子模序结构确保近似保证。
• 使用概率论论证和集中不等式（如广义切尔诺夫不等式）分析随机化算法中遗漏高价值查询的可能性。
• 通过从一个困难实例的归约证明硬度结果，表明任何多项式查询算法都无法实现优于 0.5 的近似，从而证明该界是紧致的。
• 通过证明选择模型目标（如 MNL、马尔可夫模型）满足子模序性质，将该框架应用于组合优化，实现算法保证。
• 利用与流式子模最大化之间的联系，将已知的近似比作为主结果的推论恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准子模性不成立时，能否在基数约束下对单调次可加函数实现常数因子近似？
• RQ2 任何多项式查询算法在基数约束下对单调次可加函数最大化问题所能达到的最佳近似比是多少？
• RQ3 子模序结构能否被用于在一般选择模型下，为受限组合优化问题首次实现常数因子保证？
• RQ4 子模序结构与现有流式优化问题有何关联？能否恢复已知结果？
• RQ5 是否能仅通过值查询识别函数的子模序？若不能预先知晓，是否能实现更优的近似？

主要发现

• 对于子模序函数的基数约束最大化问题，可实现 0.5−ϵ 近似，查询复杂度为 O(n/ϵ log n)。
• 0.5 的近似比几乎是紧致的：任何多项式查询算法都无法在任意 ϵ>0 下实现优于 0.5+ϵ 的近似。
• 对于预算约束最大化，实现了 0.5−ϵ 近似，查询复杂度为 O(n^{1/ϵ})；在接近线性查询复杂度下，可获得 1/3−ϵ 近似。
• 对于拟阵约束最大化，实现了 0.25 近似，查询复杂度为 O(nd)，其中 d 为拟阵的秩。
• 证明了 MNL 和马尔可夫选择模型在组合优化中的目标函数与子模序兼容，从而在约束下首次实现常数因子保证。
• 该框架可将流式子模最大化中的已知近似保证作为推论恢复，表明子模序与流式算法之间存在深层联系。