[论文解读] Submodular Secretary Problem with Shortlists

Shipra Agrawal, Mohammad Shadravan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Optimization and Search Problems被引用 4

一句话总结

本文引入了带有短名单的子模 $k$-秘书问题，允许在线算法在最终选择 $k$ 个物品之前先选择一个更大的短名单。该文提出了一种多项式时间算法，使用 $O(k)$ 的短名单大小，实现了 $1 - 1/e - \epsilon - O(k^{-1})$ 的竞争比，显著优于先前的流式计算结果，且内存更小、近似因子更优。

ABSTRACT

In submodular $k$-secretary problem, the goal is to select $k$ items in a randomly ordered input so as to maximize the expected value of a given monotone submodular function on the set of selected items. In this paper, we introduce a relaxation of this problem, which we refer to as submodular $k$-secretary problem with shortlists. In the proposed problem setting, the algorithm is allowed to choose more than $k$ items as part of a shortlist. Then, after seeing the entire input, the algorithm can choose a subset of size $k$ from the bigger set of items in the shortlist. We are interested in understanding to what extent this relaxation can improve the achievable competitive ratio for the submodular $k$-secretary problem. In particular, using an $O(k)$ shortlist, can an online algorithm achieve a competitive ratio close to the best achievable online approximation factor for this problem? We answer this question affirmatively by giving a polynomial time algorithm that achieves a $1-1/e-\epsilon -O(k^{-1})$ competitive ratio for any constant $\epsilon > 0$, using a shortlist of size $\eta_\epsilon(k) = O(k)$. Also, for the special case of m-submodular functions, we demonstrate an algorithm that achieves a $1-\epsilon$ competitive ratio for any constant $\epsilon > 0$, using an $O(1)$ shortlist. Finally, we show that our algorithm can be implemented in the streaming setting using a memory buffer of size $\eta_\epsilon(k) = O(k)$ to achieve a $1 - 1/e - \epsilon-O(k^{-1})$ approximation for submodular function maximization in the random order streaming model. This substantially improves upon the previously best known approximation factor of $1/2 + 8 imes 10^{-14}$ [Norouzi-Fard et al. 2018] that used a memory buffer of size $O(k \log k)$.

研究动机与目标

• 探讨通过短名单放松 $k$-选择约束是否能提升子模 $k$-秘书问题的竞争比。
• 设计一种在线算法，仅使用 $O(k)$ 的短名单大小，实现接近理论最优值 $1 - 1/e$ 的竞争比。
• 将该方法扩展至随机顺序流式模型，同时实现最小内存使用。
• 证明对于 $m$-子模函数，$O(1)$ 的短名单大小足以实现 $1 - \epsilon$ 的竞争比。
• 在使用更少内存的前提下，超越先前流式计算中最佳近似因子 $1/2 + 8 \times 10^{-14}$ 的结果。

提出的方法

• 提出一种松弛机制，即在最终选择 $k$ 个物品前，先选择一个大小为 $O(k)$ 的短名单。
• 采用一种多项式时间算法，在随机顺序处理物品时自适应地构建短名单。
• 应用阈值化与采样策略，以在短名单构建过程中平衡探索与利用。
• 通过后处理步骤，从短名单中使用对子模函数的贪心选择策略选出最优的 $k$ 个物品。
• 对于 $m$-子模函数，采用专门的选取机制，仅用常数大小的短名单即可实现接近最优的性能。
• 通过维护大小为 $O(k)$ 的内存缓冲区来存储短名单，将算法适配至流式模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 允许大小为 $O(k)$ 的短名单是否能提升子模 $k$-秘书问题的竞争比？
• RQ2 对于一般的单调子模函数，是否可能仅使用 $O(k)$ 的短名单大小实现 $1 - 1/e - \epsilon$ 的竞争比？
• RQ3 对于 $m$-子模函数，是否可将短名单大小减少至 $O(1)$，同时保持近似最优性能？
• RQ4 短名单松弛是否能在随机顺序流式模型中实现优于先前工作的近似因子？
• RQ5 该算法是否可在内存受限的流式环境中高效实现？

主要发现

• 该算法在使用 $O(k)$ 短名单的情况下，对任意常数 $\epsilon > 0$，实现了 $1 - 1/e - \epsilon - O(k^{-1})$ 的竞争比。
• 对于 $m$-子模函数，该算法仅使用 $O(1)$ 的短名单大小，即可实现 $1 - \epsilon$ 的竞争比。
• 该算法可在流式模型中实现，仅需大小为 $O(k)$ 的内存缓冲区，其近似因子与离线短名单版本相同。
• 该结果超越了先前最佳流式近似因子 $1/2 + 8 \times 10^{-14}$，后者需要 $O(k \log k)$ 的内存。
• 在短名单松弛下，竞争比趋近于该类问题已知的最佳可实现因子 $1 - 1/e$。
• 短名单松弛使得在仅适度增加短名单大小的前提下，显著提升了近似质量。