[论文解读] Submodular Secretary Problems: Cardinality, Matching, and Linear Constraints

Thomas Keßelheim, Andreas Tönnis|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Optimization and Search Problems被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的在线算法，用于具有基数约束、匹配约束和线性打包约束的子模秘书问题，利用离线近似算法，实现了渐近的竞争力比 $\alpha/e$。该算法引入了一种递归的、基于阈值的选择策略，动态地利用离线解来指导在线决策，显著优于先前在不确定环境下子模最大化问题上的界限。

ABSTRACT

We study various generalizations of the secretary problem with submodular objective functions. Generally, a set of requests is revealed step-by-step to an algorithm in random order. For each request, one option has to be selected so as to maximize a monotone submodular function while ensuring feasibility. For our results, we assume that we are given an offline algorithm computing an $α$-approximation for the respective problem. This way, we separate computational limitations from the ones due to the online nature. When only focusing on the online aspect, we can assume $α= 1$. In the submodular secretary problem, feasibility constraints are cardinality constraints. That is, out of a randomly ordered stream of entities, one has to select a subset size $k$. For this problem, we present a $0.31α$-competitive algorithm for all $k$, which asymptotically reaches competitive ratio $\fracα{e}$ for large $k$. In submodular secretary matching, one side of a bipartite graph is revealed online. Upon arrival, each node has to be matched permanently to an offline node or discarded irrevocably. We give an $\fracα{4}$-competitive algorithm. In both cases, we improve over previously best known competitive ratios, using a generalization of the algorithm for the classic secretary problem. Furthermore, we give an $O(αd^{-\frac{2}{B-1}})$-competitive algorithm for submodular function maximization subject to linear packing constraints. Here, $d$ is the column sparsity, that is the maximal number of none-zero entries in a column of the constraint matrix, and $B$ is the minimal capacity of the constraints. Notably, this bound is independent of the total number of constraints. We improve the algorithm to be $O(αd^{-\frac{1}{B-1}})$-competitive if both $d$ and $B$ are known to the algorithm beforehand.

研究动机与目标

• 解决在可行性约束下进行在线子模最大化的问题，其中必须在项目到达时立即做出不可撤销的决策。
• 通过假设可访问一个 $\alpha$-近似离线算法，将计算限制与在线决策成本分离开来。
• 将经典的秘书问题推广到具有拟阵和线性打包约束的子模目标。
• 通过递归分析和自适应阈值，改进子模秘书问题的竞争力比，超越先前的工作。

提出的方法

• 该算法拒绝前 $n/e$ 个物品，然后对每个后续物品，检查其是否包含在迄今为止所见物品的离线解中。
• 利用递归期望界来分析所选集合的期望值，依赖于离线算法的近似保证 $\alpha$。
• 对于线性打包约束，该方法应用切尔诺夫不等式，以确保在列稀疏度 $d$ 和最小容量 $B$ 条件下，暂定分配的可行性。
• 通过求解涉及每个决策阶段期望收益的递推关系，推导出竞争力比。
• 该算法根据当前解的状态和离线近似质量，动态调整选择标准。
• 通过将离线解作为决策预言机，将经典秘书算法的阈值方法推广到子模函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否使用一种简单、递归的在线算法，为具有基数约束的子模秘书问题实现接近 $\alpha/e$ 的竞争力比？
• RQ2 在二分图中进行子模秘书匹配时，竞争力比能达到多少，其中一侧的项目在线到达？
• RQ3 列稀疏度 $d$ 和最小容量 $B$ 如何影响具有线性打包约束的子模最大化中的竞争力比？
• RQ4 通过假设可访问一个 $\alpha$-近似离线算法，能否将在线子模算法的性能与计算复杂度解耦？
• RQ5 是否存在一个通用框架，通过递归期望分析，在多个子模秘书变体中提升竞争力比？

主要发现

• 本文为具有基数约束的子模秘书问题提出了一种 $0.31\alpha$-竞争力的算法，优于先前结果。
• 当 $k$ 较大时，竞争力比渐近地趋近于 $\alpha/e$，与经典秘书问题的最佳已知界限一致。
• 对于子模秘书匹配问题，实现了 $\alpha/4$-竞争力的算法，覆盖了换位拟阵约束。
• 对于线性打包约束，该算法实现了 $O(\alpha d^{-2/(B-1)})$-竞争力，且不依赖于约束数量。
• 如果 $d$ 和 $B$ 事先已知，竞争力比可提升至 $O(\alpha d^{-1/(B-1)})$，显示出对结构参数更强的依赖性。
• 递归分析框架通过将期望收益表达为离线解质量和概率可行性，实现了紧致的界。