[论文解读] Subordination of Hilbert space valued Lévy processes

Fred Espen Benth, Paul Krühner|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文将 Lévy 过程的多变量时变子化推广至希尔伯特空间值 Lévy 过程，建立了可积性与鞅性质的条件。通过使用逆高斯时变子对柱状布朗运动进行子化，构建了无限维 Lévy 过程，如希尔伯特空间值正态逆高斯过程，确保其有限维投影服从多变量正态逆高斯分布。

ABSTRACT

We generalise multivariate subordination of Lévy processes as introduced by Barndorff-Nielsen, Pedersen, and Sato to Hilbert space valued Lévy processes. The processes are explicitly characterised and conditions for integrability and martingale properties are derived under various assumptions of the Lévy process and subordinator. As an application of our theory we construct explicitly some Hilbert space valued versions of Lévy processes which are popular in the univariate and multivariate case. In particular, we define a normal inverse Gaussian Lévy process in Hilbert space as a subordination of a Hilbert space valued Wiener process by an inverse Gaussian Lévy process. The resulting process has the property that at each time all its finite dimensional projections are multivariate normal inverse Gaussian distributed as introduced in Rydberg(97).

研究动机与目标

• 将多变量 Lévy 过程的子化推广至希尔伯特空间值过程的无限维设定。
• 刻画子化希尔伯特空间值 Lévy 过程的 Lévy 特征与特征函数。
• 推导子化过程中一阶与二阶矩存在性的充分条件，以及鞅性质。
• 构造无限维 Lévy 过程的显式例子，包括希尔伯特空间值正态逆高斯过程。
• 确保所构造过程的有限维投影与已知的多变量分布（如多变量正态逆高斯分布）一致。

提出的方法

• 对独立的希尔伯特空间值 Lévy 过程 $L_j$ 应用子化，使用独立的时变子 $\Theta_j$，形成 $X(t) = (L_1(\Theta_1(t)), \dots, L_d(\Theta_d(t)))$。
• 从基 Lévy 过程与时变子的特征出发，推导子化过程的 Lévy 指数与特征。
• 通过协方差算子与 Lévy 测度刻画二阶矩结构，其中 $\mathrm{Tr}(Q)$ 与 $\int_{|x|\leq 1}|x|^2\nu(dx)$ 的条件确保可积性。
• 通过过程的生成元与 $UC_b^2$ 中测试函数的导数有界性分析鞅性质。
• 通过使用逆高斯时变子对柱状布朗运动进行子化，实现希尔伯特空间值正态逆高斯过程的构造。
• 利用引理控制增量与截断过程的期望，通过生成元与截断函数 $\chi(x) = x \mathbf{1}_{\{|x|\leq 1\}}$ 确保一致连续性与矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，子化希尔伯特空间值 Lévy 过程 $X(t) = (L_1(\Theta_1(t)), \dots, L_d(\Theta_d(t)))$ 是良好定义且随机连续的？
• RQ2 基 Lévy 过程与时变子需满足何种必要与充分条件，以保证子化过程中一阶与二阶矩的有限性？
• RQ3 子化希尔伯特空间值 Lévy 过程在何种条件下为鞅？其性质如何依赖于基过程与时变子的特征？
• RQ4 子化框架能否用于构造流行的一元与多元 Lévy 过程（如正态逆高斯过程）的无限维类比？
• RQ5 子化希尔伯特空间值过程的有限维投影是否能恢复已知的多变量分布（如多变量正态逆高斯分布）？

主要发现

• 子化希尔伯特空间值 Lévy 过程 $X(t)$ 是良好定义的 Lévy 过程，其特征函数与 Lévy 三元组可显式表示为基过程与时变子的函数。
• 当 $\mathrm{Tr}(Q) < \infty$ 且 $\int_{|x|\leq 1}|x|^2\nu(dx) < \infty$ 时，二阶矩存在，且需满足时变子 Lévy 测度的额外可积性条件。
• 当基过程的漂移 $b$ 与时变子的特征满足特定平衡条件时，过程为鞅，特别是当时间变子在零附近具有零漂移与有限活动性时。
• 通过使用逆高斯时变子对柱状布朗运动进行子化，构造了希尔伯特空间值正态逆高斯过程，其有限维投影服从多变量正态逆高斯分布。
• 截断过程 $\chi(L(\theta))$ 的期望满足 $C|\theta|$ 的界，其中常数 $C$ 与 $\theta \in \mathbb{R}_+^d$ 无关，确保稳定性与可积性。
• 对任意 $f \in UC_b^2$，期望 $\mathbb{E}[f(L(\theta))]$ 满足 $|\mathbb{E}[f(L(\theta))] - f(0)| \leq C \sum_{j=1}^d \theta_j$，其中常数 $C$ 依赖于 $f$ 及其一阶与二阶导数的上确界，以及 $L$ 的特征。