[论文解读] Subshifts with Slowly Growing Numbers of Follower Sets

Thomas French, Nic Ormes+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Cellular Automata and Applications被引用 10

一句话总结

本文研究了一个猜想：若一个子移位在长度为 $ n $ 的词上最多有 $ n $ 个不同的后继集，则该子移位必为Sofic。论文证明了该猜想对 $ n \leq 3 $ 成立，建立了 $ |F_X(n)| \leq \log_2(n+1) $ 蕴含Sofic性的结论，并验证了其在一大类编码子移位上的成立，推进了通过后继集增长速率理解子移位结构约束的研究。

ABSTRACT

For any subshift, define $F_X(n)$ to be the collection of distinct follower sets of words of length $n$ in $X$. Based on a similar result of the second and third authors, we conjecture that if there exists an $n$ for which $|F_X(n)| \leq n$, then $X$ is sofic. In this paper, we prove several results related to this conjecture, including verifying it for $n \leq 3$, proving that the conjecture is true for a large class of coded subshifts, and showing that if there exists $n$ for which $|F_X(n)| \leq \log_2(n+1)$, then $X$ is sofic.

研究动机与目标

• 研究一个子移位在长度为 $ n $ 的词上具有有界数量的后继集时，是否必为Sofic，以扩展Morse与Hedlund的经典结果。
• 验证猜想1.1，即 $ |F_X(n)| \leq n $ 蕴含Sofic性，对较小的 $ n $ 及特定子移位类别的成立。
• 探讨后继集与扩展集之间的关系，特别是有界后继集是否蕴含有界扩展集，并评估此类方法的局限性。
• 基于后继集的增长率，建立Sofic性的充分条件，包括对数界。

提出的方法

• 通过向子移位 $ X $ 中的词添加一个新字母 $ c $，构造一个包含 $ X $ 的编码子移位 $ Y $，使得 $ F_Y(w) $ 仅依赖于最后一个 $ c $ 之后的后缀。
• 基于一个特殊字母 $ c $ 的最后一次出现位置，对长度为 $ n $ 的词进行划分，将 $ L_n(Y) $ 分成 $ n+1 $ 个集合 $ S_0, \dots, S_n $。
• 采用约化论证：若 $ |F_Y(n)| \leq n $，则至少存在一个 $ S_k $ 与某个更早的 $ S_i $（$ i < k $）共享同一个后继集，表明长词的后继集可约化为较短词或不含 $ c $ 的词的后继集。
• 利用引理4.3，证明当移除最后一个 $ c $ 之前的所有符号后，词的后继集保持不变，从而可将问题约化为更短的代表词。
• 应用归纳法与有限状态约化：由于所有不含 $ c $ 且长度小于 $ k $ 的词的后继集均有限，且所有更长的词均可约化为这些集合，因此 $ Y $ 中不同后继集的总数有限，从而推出 $ Y $ 为Sofic，进而推出 $ X $ 为Sofic。
• 利用先前工作[4]中关于扩展集的已知结果，表明虽然有界扩展集蕴含Sofic性，但其逆命题不成立——因此后继集方法是必要且独立的。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在某个 $ n $ 使得 $ |F_X(n)| \leq n $ 蕴含 $ X $ 为Sofic，如猜想所述？
• RQ2 该猜想能否在 $ n = 1, 2, 3 $ 等较小值上得到验证？
• RQ3 是否存在一个对 $ |F_X(n)| $ 的对数增长界，仍能蕴含Sofic性？
• RQ4 该猜想能否在一大类编码子移位上得到证明？
• RQ5 在决定Sofic性时，扩展集与后继集在多大程度上相关？

主要发现

• 猜想 $ |F_X(n)| \leq n $ 蕴含Sofic性在 $ n = 1, 2, 3 $ 时成立，如定理4.5、4.9与4.10所证明。
• 若对某个 $ n \geq 1 $ 有 $ |F_X(n)| \leq \log_2(n+1) $，则 $ X $ 为Sofic，如定理4.7所确立。
• 对于一大类编码子移位（包括 $ S $-gap移位和反向上下文无关移位），该猜想成立，如定理4.12与注记4.13所示。
• 本文通过添加新字母 $ c $ 从 $ X $ 构造子移位 $ Y $，并证明若 $ |F_Y(n)| \leq n $，则 $ Y $ 为Sofic，从而通过后继集的约化到有限集合，推出 $ X $ 为Sofic。
• 本文表明，即使扩展集呈指数增长，后继集的数量仍可缓慢增长，说明扩展集方法无法单独解决该猜想。
• 证明依赖于一种结构约化：任何具有给定后继集且长度 $ \geq k $ 的词，可约化为长度 $ \leq k-1 $ 的词或不含 $ c $ 的词，而这两类词的后继集数量均为有限。