[论文解读] Subsonic flows passing a duct for three-dimensional steady compressible Euler system with friction

Hairong Yuan, Qin Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文在具有摩擦（Fanno流）的三维管道中，建立了稳态可压缩欧拉系统对称亚音速、超音速及跨音速激波解的存在性与稳定性。通过一种新颖的迭代格式，结合非局部椭圆方程，并利用椭圆-双曲复合型系统的框架，证明了在边界数据的小多维扰动下，解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

For the three-dimensional steady non-isentropic compressible Euler system with friction, we show existence of a class of symmetric subsonic, supersonic and transonic-shock solutions in a straight duct with constant square-section. Such flows are called Fanno flow in engineering. We formulate a boundary value problem for subsonic flows, and study their stability under multidimensional small perturbations of boundary conditions. Since the subsonic Euler system is of elliptic-hyperbolic composite-mixed type, this is achieved by using the framework established in [L. Liu; G. Xu; H. Yuan: Stability of spherically symmetric subsonic flows and transonic shocks under multidimensional perturbations. Adv. Math. 291 (2016), 696--757], and establishing an iteration scheme, which involves solving a second order nonlocal elliptic equation.

研究动机与目标

• 严格分析三维稳态可压缩欧拉流在管道内摩擦的影响。
• 为具有恒定方形截面的管道中亚音速流建立并求解边界值问题。
• 在边界条件的小多维扰动下，建立亚音速流的稳定性。
• 将椭圆-双曲复合型系统的框架扩展至包含摩擦引起的非局部性。
• 为理解三维几何中跨音速激波与Fanno流行为提供数学基础。

提出的方法

• 为包含与$(u^0)^2$成比例的摩擦项的三维稳态非等熵可压缩欧拉系统制定边界值问题。
• 采用先前工作中提出的分解框架，将系统围绕对称解线性化。
• 引入一种迭代格式，通过求解二阶非局部椭圆方程来处理摩擦引起的非局部性。
• 利用加权霍尔德范数，并在完备度量空间中采用不动点论证，证明解的存在性与唯一性。
• 将巴拿赫不动点定理应用于迭代映射，证明在小扰动下具有压缩性。
• 通过引理5.1–5.4建立先验估计，以控制迭代过程中速度、压力、熵与能量的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有摩擦的三维管道中，可压缩欧拉系统是否存在对称的亚音速、超音速及跨音速激波解？
• RQ2 摩擦如何影响三维空间中亚音速与跨音速流的结构与稳定性？
• RQ3 能否为具有摩擦的三维亚音速欧拉流建立适定的边界值问题？
• RQ4 由摩擦引起的非局部椭圆项在该类流体稳定性分析中起什么作用？
• RQ5 多维扰动如何影响摩擦存在下亚音速解的存在性与唯一性？

主要发现

• 在具有恒定方形截面和摩擦的三维管道中，存在一类对称的亚音速、超音速及跨音速激波解。
• 亚音速解在边界数据的小多维扰动下保持稳定。
• 通过完备度量空间中霍尔德光滑函数类上的压缩映射论证，证明了解的存在性。
• 迭代格式涉及求解因摩擦项而产生的非局部椭圆方程，该方程将沿流路的伯努利常数耦合。
• 不动点论证中的压缩常数被控制在$ C\varepsilon $以内，当$ \varepsilon_0 $足够小时保证收敛。
• 在$ C^{2,\alpha} $范数下，解在参考对称解的邻域内唯一。