[论文解读] Substitution for Non-Wellfounded Syntax with Binders Through Monoidal Categories
本文提出了一种范畴论框架，用于通过张量范畴和强函子构造具有绑定的非良基语法及其单子化替换。该框架引入了张量异类替换系统，统一处理良基与非良基项，并证明了签名函子的ω-连续性，同时在UniMath/Coq中形式化了整个构造过程。
We describe a generic construction of non-wellfounded syntax involving variable binding and its monadic substitution operation. Our construction of the syntax and its substitution takes place in category theory, notably by using monoidal categories and strong functors between them. A language is specified by a multi-sorted binding signature, say Σ. First, we provide sufficient criteria for Σ to generate a language of possibly infinite terms, through ω-continuity. Second, we construct a monadic substitution operation for the language generated by Σ. A cornerstone in this construction is a mild generalization of the notion of heterogeneous substitution systems developed by Matthes and Uustalu; such a system encapsulates the necessary corecursion scheme for implementing substitution. The results are formalized in the Coq proof assistant, through the UniMath library of univalent mathematics.
研究动机与目标
- 通过张量范畴提供一种通用的、范畴论的非良基语法构造方法，支持变量绑定。
- 为这类语法定义一种单子化替换操作，通过异类替换系统支持共归纳替换。
- 在单一范畴论框架内统一处理良基与非良基语法。
- 在同伦类型论的同伦基础内，通过UniMath/Coq形式化整个构造，确保其正确性。
- 通过共归纳语法支持在简单类型λ-演算中表示无限搜索空间。
提出的方法
- 使用多-sort绑定签名来指定语言，并从这些签名生成函子。
- 应用ω-连续性准则，以确保非良基项的终余代数存在。
- 引入张量异类替换系统，作为Matthes与Uustalu系统的一种推广，以支持共归纳替换。
- 利用张量强度和actegory来在张量范畴中建模替换。
- 通过终余代数与强度构造单子化替换操作，确保其与双相似性和α-等价性相容。
- 在UniMath/Coq中使用同伦基础形式化所有结果，其中在集合范畴中给出了具体实例化。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在统一的范畴论框架中构造具有绑定的非良基语法，同时支持良基语法？
- RQ2哪些范畴论条件可确保通过签名函子的终余代数存在非良基项？
- RQ3如何为这类非良基项定义共归纳替换，以尊重α-等价性与双相似性？
- RQ4张量异类替换系统能否被推广，以在单一框架中支持良基与非良基项？
- RQ5此类系统能否通过Coq等证明助手在同伦基础内实现形式化验证？
主要发现
- 本文建立了多-sort绑定签名的充分条件，通过相关签名函子的ω-连续性，生成非良基项的语言。
- 通过异类替换系统的推广，构造了非良基语法的单子化替换操作，支持共归纳替换。
- 该框架使用张量范畴与强函子，在同一范畴机械中统一处理了良基与非良基语法。
- 所有结果均在UniMath/Coq中形式化验证，且在集合范畴中给出了具体实例化，提供了在同伦基础中非良基语法与绑定的正式构造。
- 该方法支持在简单类型λ-演算中将无限搜索空间表示为共归纳项，同时保持类型安全的替换。
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