[论文解读] Substitution shifts generated by $p$-adic integer sequences

Eric Rowland, Reem Yassawi|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文提出了一套框架，利用p进整数序列分析无限字母表上的替换移位，这些序列在模p^α下投影为p-自动序列（对所有α ≥ 0）。通过研究Z^N_p中的移位轨道闭包，表明这些系统是不可数字母表上常长度替换的逐字编码，建立了p进动力系统与无限字母表上符号动力系统之间的结构性联系。

ABSTRACT

We set the stage for studying some substitution shifts defined on an infinite alphabet. We consider sequences of p-adic integers that project modulo pα to a p-automatic sequence for every α ≥ 0. Examples include algebraic sequences of integers, which satisfy this property for any prime p, and some cocycle se-quences, which we show satisfy this property for a fixed p. By considering the shift-orbit closure of such a sequence in ZNp, we describe how this shift is a letter-to-letter coding of a shift generated by a constant-length substitution defined on an uncountable alphabet. 1

研究动机与目标

• 开发一种基于p进整数序列的动力系统框架，用于研究不可数字母表上的替换移位。
• 表征所有满足其模p^α投影为p-自动序列（对所有α ≥ 0）的p进整数序列。
• 分析此类序列在空间Z^N_p中的移位轨道闭包，并将其与符号动力系统联系起来。
• 证明这些闭包源于不可数字母表上常长度替换的逐字编码。
• 通过p进构造，将代数序列与上循环序列统一于同一动力系统框架之下。

提出的方法

• 利用在模p^α下投影为p-自动序列（对所有α ≥ 0）的p进整数序列。
• 分析此类序列在紧致空间Z^N_p中的移位轨道闭包。
• 应用常长度替换理论，构建无限字母表动力系统。
• 建立从不可数字母表上替换移位到p进序列轨道闭包的逐字编码映射。
• 利用p-自动序列及其投影极限的性质，描述轨道闭包的拓扑结构。
• 运用p进拓扑与符号动力学，将Z^N_p的动力学与替换系统联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用p进整数序列构造无限字母表上的替换移位？
• RQ2 何种条件可确保p进整数序列在模p^α下对所有α ≥ 0投影为p-自动序列？
• RQ3 此类序列的移位轨道闭包与不可数字母表上的常长度替换以何种方式关联？
• RQ4 代数序列与上循环序列如何在p进投影下的此动力系统框架中定位？
• RQ5 Z^N_p中的轨道闭包与替换移位编码之间存在何种结构性关系？

主要发现

• 在模p^α下对所有α ≥ 0投影为p-自动序列的p进整数序列，包括代数序列和某些上循环序列。
• 此类序列在Z^N_p中的移位轨道闭包是一个具有特定符号结构的极小动力系统。
• 该轨道闭包被证明是定义在不可数字母表上的常长度替换移位的逐字编码。
• 该构造提供了一类具有明确p进起源的新无限字母表替换移位。
• 该框架将此前分离的两类序列——代数序列与上循环序列——统一于同一动力系统与p进形式体系之下。
• 轨道闭包上的动力学继承自底层p-自动结构的性质，从而实现了对无限字母表系统更深入的分析。