[论文解读] Substitutions and Möbius disjointness

S. Ferenczi, Joanna Kułaga-Przymus+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2015

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文通过利用紧致群扩张和通过Toeplitz扩张实现的拓扑共轭，证明了由双射替换及其相关系统（如Rudin-Shapiro型序列）生成的子移位系统满足Sarnak的Möbius不相交猜想。关键贡献在于，尽管Möbius上链在Morse上链中存在不连续性，仍通过符号扩张构造连续模型，利用遍历理论工具在这些系统中确立了该猜想。

ABSTRACT

We show that Sarnak's conjecture on Möbius disjointness holds for all subshifts given by bijective substitutions and some other similar dynamical systems, e.g.\ those generated by Rudin-Shapiro type sequences.

研究动机与目标

• 证明由双射替换生成的子移位系统满足Sarnak关于Möbius不相交性的猜想。
• 将该猜想的有效性扩展至数论起源的系统，包括广义Morse序列和Rudin-Shapiro型序列。
• 通过利用Toeplitz系统构造连续群扩张，克服拓扑动力系统中Morse上链不连续性的挑战。
• 证明当上链在拓扑因子上连续时，Sarnak猜想对 odometers 的有限群扩张成立。
• 与Veech关于半上链和Kakutani型系统的成果进行比较和对照，展示更广泛的应用性。

提出的方法

• 使用Katai-Bourgain-Sarnak-Ziegler准则，通过特定相关性条件验证有界序列的Möbius不相交性。
• 通过一个作为 odometer 的几乎1-1扩张的Toeplitz序列构造一个拓扑因子，从而实现连续群扩张。
• 将 odometer 上的典型点上拉至Toeplitz系统，以保持遍历性质并支持拓扑分析。
• 识别出在置换群上的群覆盖替换，将系统建模为具有连续上链的紧致群扩张。
• 利用Morse系统在度量意义上同构于紧致群扩张的事实，而Toeplitz系统则提供了具有连续上链的拓扑共轭模型。
• 应用谱理论和结合技术分析动力结构，并在拓扑设定下验证猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sarnak的Möbius不相交猜想是否对由双射替换生成的子移位系统成立？
• RQ2 能否使用拓扑方法将该猜想扩展至由Rudin-Shapiro型序列生成的系统？
• RQ3 是否可以为具有不连续上链的Morse系统构造一个连续群扩张模型，以实现该猜想的拓扑验证？
• RQ4 与Veech关于半上链和Kakutani系统的成果相比，结果有何异同？
• RQ5 Toeplitz扩张在实现从度量模型到Möbius不相交性拓扑模型的过渡中起什么作用？

主要发现

• Sarnak猜想对所有由双射替换生成的子移位系统成立，因为这些系统可通过Toeplitz扩张获得具有连续上链的拓扑模型。
• 通过将问题约化为 odometers 的连续群扩张，该猜想在广义Morse序列（包括Rudin-Shapiro型）上得到验证。
• 本文构造了一个在Toeplitz系统上的连续上链 φ，使得其对应的斜积系统满足Sarnak猜想，尽管原始Morse上链 ψ 是不连续的。
• 该方法表明，对于Morse序列 x，动力系统 (S, X(x)) 拓扑同构于连续紧致群扩张 (Sφ, X(ŵ) × G)，从而实现猜想的拓扑验证。
• 结果将Veech定理推广至一般紧致群，表明Sarnak猜想对具有局部常数上链的更广泛类Kakutani型系统成立。
• 证明依赖于集合 D²₀ 的特征函数是连续的且仅依赖于有限个坐标，从而可通过Walsh基和Katai准则验证猜想。