[论文解读] Substitutions over infinite alphabet generating (-\beta)-integers

Dombek, Daniel|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文提出了一种组合框架，用于使用无限字母表上的无限词对具有有限(−β)-展开式的(−β)-整数集合进行编码。该词是某个非擦除、非恒等反自同构的不动点，其来源于自相似性和可接受性准则。主要贡献是为任意β > 1构造了一类此类自同构，将先前结果推广至更广泛的(−β)-展开式类别，其中l ∈ (−1, 0]。

ABSTRACT

This contribution is devoted to the study of positional numeration systems with negative base introduced by Ito and Sadahiro in 2009, called (-\beta)-expansions. We give an admissibility criterion for more general case of (-\beta)-expansions and discuss the properties of the set of (-\beta)-integers. We give a description of distances within this set and show that this set can be coded by an infinite word over an infinite alphabet, which is a fixed point of a non-erasing non-trivial morphism.

研究动机与目标

• 通过任意l ∈ (−1, 0]的广义(−β)-展开式来定义并表征(−β)-整数集合Z−β。
• 利用交替字典序定义(−β)-展开式中数字串的可接受性准则。
• 基于参考串使用递归公式描述连续(−β)-整数之间的距离。
• 将有序集合Z−β编码为无限字母表上的无限词。
• 证明存在一个非擦除、非恒等反自同构，其平方作用于该无限词时保持不动。

提出的方法

• 通过广义变换T(x) = −βx − ⌊−βx − l⌋在[l, l+1)上定义(−β)-展开式，其中l ∈ (−1, 0]，以确保0为有效数字。
• 使用交替字典序≺alt定义无限数字串的可接受性，基于参考串d(l)和d*(l+1)。
• 引入值函数γ，用于计算以(−β)为基的有限数字串所表示的实数。
• 将min(k)和max(k)定义为长度k的极值可接受串，用于计算连续(−β)-整数之间的距离∆k。
• 构造一个无限词v−β ∈ NZ，其中vn = k表示zn与zn+1之间的间隙等于∆k。
• 证明存在一个反自同构Φ，使得Ψ = Φ²满足Ψ(v−β) = v−β，其依据是Z−β在乘以−β下的自相似性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意β > 1和l ∈ (−1, 0]，(−β)-整数集合能否通过无限字母表上的无限词进行编码？
• RQ2 在Ito-Sadahiro情形之外，(−β)-展开式的可接受性条件的一般形式是什么？
• RQ3 连续(−β)-整数之间的距离如何依赖于参考串d(l)和d*(l+1)的结构？
• RQ4 是否存在一个自同构或反自同构，能够生成编码Z−β的无限词？其结构特性是什么？
• RQ5 在何种条件下，可将无限字母表编码投影到有限字母表，同时保持其形态结构？

主要发现

• 集合(−β)-整数Z−β通过双向无限词v−β ∈ NZ进行编码，其中每个位置n编码连续(−β)-整数之间的间隙大小∆k。
• 词v−β是某个非擦除、非恒等反自同构Φ的平方的不动点，即Ψ = Φ²满足Ψ(v−β) = v−β。
• 当β ≈ 4.3（即方程x³ − 3x² − 4x − 2的实根）时，反自同构Φ显式给出为：Φ(0) = 02102，Φ(1) = 2，Φ(2) = 3，Φ(2k+1) = 0210(2k+2)0102，Φ(2k+2) = 2k+3（k ≥ 1）。
• 存在一个有限字母表投影：ϕ(0) = 02102，ϕ(1) = 2，ϕ(2) = 3，ϕ(3) = 021020102，其作用于投影词u−β = Π(v−β)时保持不动。
• 连续(−β)-整数之间的距离∆k被显式计算为：∆₀ = 1，∆₁ = −1 + 4/β + 2/β²，∆₂ₖ = 1 − 2/β − 2/β²，∆₂ₖ₊₁ = 1 + 2/β + 2/β²（k ≥ 1）。
• min(k)和max(k)的结构取决于d(l)和d*(l+1)的周期性，对特定情形（如l = −1/2且β ≈ 4.3）推导出闭式表达。