[论文解读] Subtraction-free complexity, cluster transformations, and spanning trees

Sergey Fomin, D. Grigoriev+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jul 31, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一类无需减法的算法，利用簇变换在多项式时间内计算舒尔函数及其斜化、双变量和超对称变体，以及生成函数的 spanning trees。研究证明，在无减法的复杂度模型中，除法可发挥指数级的强大作用，揭示了某些有理函数在无减法与普通算术电路复杂度之间存在指数级差距。

ABSTRACT

Subtraction-free computational complexity is the version of arithmetic circuit complexity that allows only three operations: addition, multiplication, and division. We use cluster transformations to design efficient subtraction-free algorithms for computing Schur functions and their skew, double, and supersymmetric analogues, thereby generalizing earlier results by P. Koev. We develop such algorithms for computing generating functions of spanning trees, both directed and undirected. A comparison to the lower bound due to M. Jerrum and M. Snir shows that in subtraction-free computations, "division can be exponentially powerful." Finally, we give a simple example where the gap between ordinary and subtraction-free complexity is exponential.

研究动机与目标

• 研究仅允许加法、乘法和除法（排除减法）的算术运算对计算复杂度的影响。
• 利用簇变换开发高效无减法算法，用于计算舒尔函数及其推广形式。
• 设计有向与无向生成树生成函数的多项式时间无减法算法。
• 通过展示无减法与普通电路复杂度之间的指数级差距，证明在无减法条件下除法可发挥指数级强大作用。
• 构造显式例子，表明尽管普通复杂度为线性，无减法复杂度仍可呈指数级增长。

提出的方法

• 以簇代数理论中的核心工具——簇变换（有理映射）作为设计无减法算法的核心机制。
• 应用星-网变换，降低图中生成树生成函数计算的复杂度。
• 运用波利亚关于正多项式的结果，确保具有非负系数的有理函数可表示为非负系数多项式之比。
• 通过引理 8.1，利用分子与分母多项式的次数界，推导出无减法电路复杂度的下界。
• 构造特定有理函数，如 $ G_n(x) = (x-1)^2 + 2^{-2^{n+1}} $，以证明无减法复杂度存在指数级下界。
• 应用 Lazard-Mora-Philippon 技巧，构造齐次多项式 $ H_n $，其无减法复杂度为有限但超指数级，而普通复杂度保持线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用簇变换在无减法模型中高效计算舒尔函数及其推广形式？
• RQ2 在无减法算术电路下，生成树生成函数的计算复杂度如何？
• RQ3 在无减法条件下，除法在算术电路中的能力受到何种影响？
• RQ4 对于有理函数，是否存在普通复杂度与无减法复杂度之间的指数级差距？
• RQ5 是否存在显式有理函数，其无减法复杂度呈指数级增长，而普通复杂度仅为线性？

主要发现

• 本文提出利用簇变换计算舒尔函数、斜化舒尔函数、双变量舒尔函数及超对称舒尔函数的无减法多项式时间算法。
• 开发了有向与无向生成树生成函数的无减法算法，实现多项式复杂度。
• 对于单变量多项式 $ G_n(x) = (x-1)^2 + 2^{-2^{n+1}} $，其无减法复杂度超过 $ 2^n $，尽管其普通复杂度为 $ O(1) $（允许任意常数）或 $ O(n) $（仅允许输入 1）。
• 对于齐次多项式 $ H_n(t,x_1,\dots,x_n) $，其无减法复杂度超过 $ 2^{n-2} $，而其普通复杂度在 $ n $ 上为线性。
• 研究证实，在无减法条件下，除法可发挥指数级强大作用，如无减法与半环（仅加法/乘法）复杂度之间存在指数级差距所示。
• 该结果可推广至热带半域，表明当允许减法时，最小费用有向生成森林问题的复杂度从指数级降至多项式级。