[论文解读] Subtrees and independent subsets in unicyclic graphs and unicyclic graphs with fixed segment sequence

Eric Ould Dadah Andriantiana, Hua Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Graph theory and applications参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了在固定围长或链段序列等约束条件下，最大化子树数量和独立顶点子集数量（Merrifield-Simmons 指数）的极值无圈图。研究发现，子树数量最多的结构并不最小化 Wiener 指数，而独立顶点子集最多的结构也不最小化匹配数——这是首次在具有固定链段序列的无圈图中发现这些拓扑指标之间负相关性的反例。

ABSTRACT

In the study of topological indices two negative correlations are well known: that between the number of subtrees and the Wiener index (sum of distances), and that between the Merrifield-Simmons index (number of independent vertex subsets) and the Hosoya index (number of independent edge subsets). That is, among a certain class of graphs, the extremal graphs that maximize one index usually minimize the other, and vice versa. In this paper, we first study the numbers of subtrees in unicyclic graphs and unicyclic graphs with a given girth, further confirming its opposite behavior to the Wiener index by comparing with known results. We then consider the unicyclic graphs with a given segment sequence and characterize the extremal structure with the maximum number of subtrees. Furthermore, we show that these graphs are not extremal with respect to the Wiener index. We also identify the extremal structures that maximize the number of independent vertex subsets among unicyclic graphs with a given segment sequence, and show that they are not extremal with respect to the number of independent edge subsets. These results may be the first examples where the above negative correlation failed in the extremal structures between these two pairs of indices.

研究动机与目标

• 表征在所有 n 个顶点的无圈图中，使子树数量最大化或最小化的无圈图。
• 研究在固定围长的无圈图中，子树数量与 Wiener 指数之间的关系。
• 识别给定链段序列下使子树数量最大化和独立顶点子集数量最大化之极值无圈图。
• 检验在具有固定链段序列的无圈图中，是否成立广为人知的拓扑指标负相关性（例如，子树数量与 Wiener 指数、Merrifield-Simmons 指数与 Hosoya 指数之间）。
• 确定使独立顶点子集数量极值的结构是否也使匹配数（Hosoya 指数）达到极值。

提出的方法

• 将具有长度为 $l$ 的环和 $n-l$ 个悬挂顶点的无圈图定义为 $US_n^l$，将具有长度为 $n-l$ 的悬挂路径的无圈图定义为 $UP_n^l$，作为极值图。
• 使用链段序列——即度数不等于 2 的顶点之间路径长度的有序列表——对无圈图进行分类，并分析极值结构。
• 应用关于不相交路径中独立集的组合引理，特别是利用基于斐波那契的恒等式计算 Merrifield-Simmons 指数。
• 通过迭代变换证明极值性：将悬挂路径集中到单个顶点上，以增加独立集或子树的数量。
• 使用递归分解比较极值图：$\sigma(G) = \sigma(G - v) + \sigma(G - [v])$，其中 $v$ 是一个顶点。
• 通过关于链段长度和链段数量的归纳法与情况分析，建立 $\sigma(G)$ 和 $n(G)$ 的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有 n 个顶点的无圈图中，哪些无圈图使子树数量最大化？
• RQ2 在具有固定围长的无圈图中，使子树数量最大的极值图是否也使 Wiener 指数最小化？
• RQ3 对于给定链段序列的无圈图，哪种结构使子树数量最大化？
• RQ4 在具有固定链段序列的无圈图中，Merrifield-Simmons 指数与 Hosoya 指数之间的负相关性是否仍然成立？
• RQ5 在具有固定链段序列的无圈图中，使独立顶点子集数量达到极值的图是否也使匹配数（Hosoya 指数）达到极值？

主要发现

• 由长度为 $l$ 的环上连接 $n-l$ 个悬挂顶点构成的无圈图 $US_n^l$，是在所有具有围长 $l$ 的 n 个顶点无圈图中子树数量最多的图。
• 由长度为 $n-l$ 的路径连接到长度为 $l$ 的环上某顶点构成的无圈图 $UP_n^l$，是在所有具有围长 $l$ 的 n 个顶点无圈图中子树数量最少的图。
• 对于给定链段序列 $(l_1, \dots, l_m)$ 且 $l_1 \geq 3$ 的无圈图，图 $U_1(l_1, \dots, l_m)$——其中环本身构成长度为 $l_1$ 的链段，其余所有链段构成星形树——使子树数量最大化。
• 在具有固定链段序列的无圈图中，使子树数量最大的极值图并不最小化 Wiener 指数，这与通常的负相关性相矛盾。
• 在具有固定链段序列的无圈图中，使 Merrifield-Simmons 指数（即独立顶点子集数量）最大的极值图是 $U_2(l_1, \dots, l_m)$，其中环上两个顶点分别承载最长的链段。
• 使 Merrifield-Simmons 指数最大的极值图并不最小化匹配数（Hosoya 指数），这是首次在具有固定链段序列的无圈图中发现这两个指标之间负相关性的反例。