[论文解读] Subvarieties in non-compact hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文证明，对于非紧致的超凯勒流形，所有紧致复子簇在几乎所有诱导复结构 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ 下均为三分析性（即关于所有诱导复结构均为全纯解析），仅对一个可数例外集合例外。该结果通过三辛面积函数及其临界值分析，将霍奇理论中已知的紧致情形定理推广至非紧致情形，证明该函数的常数性蕴含三分析性。

ABSTRACT

Let M be a hyperkaehler manifold, not necessarily compact, and $S\cong CP^1$ the set of complex structures induced by the quaternionic action. Trianalytic subvariety of M is a subvariety which is complex analytic with respect to all $I \in CP^1$. We show that for all $I \in S$ outside of a countable set, all compact complex subvarieties $Z \subset (M,I)$ are trianalytic. For M compact, this result was proven in alg-geom/9403006 using Hodge theory.

研究动机与目标

• 将已知的关于紧致超凯勒流形中紧致复子簇为三分析性的结果推广至非紧致情形。
• 理解非紧致超凯勒流形中紧致复子簇的行为，其中由于混合霍奇结构的存在，霍奇理论不再适用。
• 刻画所有紧致子簇均为三分析性的通用诱导复结构 $ I \in \mathbb{C}P^1 $。
• 建立基于三辛面积函数 $ V_Z(L) $ 的三分析性判别准则，证明其为常数当且仅当 $ Z $ 为三分析性。

提出的方法

• 定义三辛面积函数 $ V_Z(L) = \frac{1}{n!2^n} \int_Z (a\omega_I + b\omega_J + c\omega_K)^n $，其中 $ L = aI + bJ + cK \in \mathbb{C}P^1 $，该函数衡量每个复结构下的辛面积。
• 利用维尔廷格不等式证明 $ V_Z(L) \leq \text{Area}_g(Z) $，且等号成立当且仅当 $ Z $ 在 $ (M,L) $ 中为全纯解析。
• 证明 $ V_Z $ 是 $ \mathbb{C}P^1 \cong S^2 $ 上的多项式，因此对每个同调类而言其临界点有限。
• 定义复结构 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ 为通用的，若对任意非常值 $ V_{[Z]} $，$ V_{[Z]} $ 在 $ I $ 处无最大值，并证明非通用 $ I $ 的集合为可数集。
• 利用 $ V_Z $ 在 $ \mathbb{C}P^1 $ 上为常数作为三分析性的判别准则，依赖于维尔廷格不等式中的等号情形。
• 应用该准则，证明对通用 $ I $，$ (M,I) $ 中所有紧致复子簇均为三分析性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些诱导复结构 $ I \in \mathbb{C}P^1 $，非紧致超凯勒流形的所有紧致复子簇为三分析性？
• RQ2 是否可以不依赖霍奇理论来刻画子簇的三分析性，特别是在非紧致情形下？
• RQ3 三辛面积函数 $ V_Z(L) $ 在检测三分析性子簇中起什么作用？
• RQ4 在 $ V_Z $ 达到最大值的非通用复结构集合，与非三分析性子簇的存在性有何关系？

主要发现

• 对任意非紧致超凯勒流形 $ M $，存在一个可数集 $ S_0 \subset \mathbb{C}P^1 $，使得对所有 $ I \notin S_0 $，$ (M,I) $ 中的所有紧致复子簇均为三分析性。
• 三辛面积函数 $ V_Z(L) $ 为常数当且仅当子簇 $ Z \subset M $ 为三分析性。
• $ V_Z $ 是 $ \mathbb{C}P^1 $ 上的多项式，且对每个同调类而言其临界点（最大值点）有限，这意味着仅有可数个非通用复结构。
• 复结构 $ I \in \mathbb{C}P^1 $ 为通用的，若对任意非常值 $ V_{[Z]} $，$ V_{[Z]} $ 在 $ I $ 处无最大值，且非通用 $ I $ 的集合为可数集。
• 对通用 $ I $，$ (M,I) $ 不含正维数的紧致子簇，因此除非仅包含三分析性子簇，否则为非代数的。
• 该结果将 [V1] 中的紧致情形结果推广至非紧致流形，通过使用三辛面积函数及其在 $ \mathbb{C}P^1 $ 上的多项式行为，绕过了霍奇理论。