[论文解读] Succinct Fermion Data Structures

Joseph Carolan, Luke Schaeffer|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2024

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用 1

一句话总结

该论文提出了两种新颖的第二量化费米子编码方式，实现了近乎最优的空间使用效率——仅使用 I + o(I) 或 I + O(1) 个量子比特，其中 I = ⌈log₂(M 选 F)⌉——同时支持高效的费米子旋转操作。第一种编码在 F = o(M) 时实现 O(I) 门复杂度和 O(log M log log M) 电路深度；第二种编码在 F = Θ(M) 时实现 O(I³) 门复杂度，且仅需 O(1) 额外量子比特，分别相较于先前工作实现了多项式与指数级改进。

ABSTRACT

Simulating fermionic systems on a quantum computer requires representing fermionic states using qubits. The complexity of many simulation algorithms depends on the complexity of implementing rotations generated by fermionic creation-annihilation operators, and the space depends on the number of qubits used. While standard fermion encodings like Jordan-Wigner are space optimal for arbitrary fermionic systems, physical symmetries like particle conservation can reduce the number of physical configurations, allowing improved space complexity. Such space saving is only feasible if the gate overhead is small, suggesting a (quantum) data structures problem, wherein one would like to minimize space used to represent a fermionic state, while still enabling efficient rotations. We define a structure which naturally captures mappings from fermions to systems of qubits. We then instantiate it in two ways, giving rise to two new second-quantized fermion encodings of $F$ fermions in $M$ modes. An information theoretic minimum of $\mathcal{I}:=\lceil\log \binom{M}{F} ceil$ qubits is required for such systems, a bound we nearly match over the entire parameter regime. (1) Our first construction uses $\mathcal I+o(\mathcal I)$ qubits when $F=o(M)$, and allows rotations generated by creation-annihilation operators in $O(\mathcal I)$ gates and $O(\log M \log \log M)$ depth. (2) Our second construction uses $\mathcal I+O(1)$ qubits when $F=Θ(M)$, and allows rotations generated by creation-annihilation operators in $O(\mathcal I^3)$ gates. In relation to comparable prior work, the first represents a polynomial improvement in both space and gate complexity (against Kirby et al. 2022), and the second represents an exponential improvement in gate complexity at the cost of only a constant number of additional qubits (against Harrison et al. or Shee et al. 2022), in the described parameter regimes.

研究动机与目标

• 开发空间高效、门操作高效的第二量化费米子编码，利用粒子数对称性以减少量子比特开销。
• 解决费米子模拟电路中量子比特数量与门深度之间的权衡问题。
• 在保持费米子产生/湮灭算符旋转高效实现的同时，实现量子比特使用量的近似信息论最优。
• 克服先前紧凑编码方式所导致的高门操作或深度开销的局限性。
• 实现费米子系统更可扩展的量子模拟，尤其在 F ≪ M 或 F ≈ M 的情形下。

提出的方法

• 定义一种通用的费米子数据结构框架，通过组合索引将 M 个轨道中的 F 个费米子映射为量子态。
• 提出一种基于有序列表的编码方式，当 F = o(M) 时使用 I + o(I) 个量子比特，利用高效的并行索引查找与列表旋转电路。
• 引入一种隐式、分层的编码方式，通过位串表示与交错填充实现，当 F = Θ(M) 时达到 I + O(1) 个量子比特。
• 设计低深度的量子电路，利用相干控制旋转与并行子程序实现费米子算符旋转。
• 通过代数分解与位串排序最小化电路深度与门数，同时保持费米统计特性。
• 应用紧凑数据结构与并行计算技术，优化空间使用与电路深度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够实现第二量化费米子编码，在保持低门复杂度与低电路深度的同时，实现近乎最优的量子比特使用（I + o(I) 或 I + O(1)）？
• RQ2 当 F = o(M) 时，是否可能在 O(I) 门复杂度与 O(log M log log M) 深度内实现费米子产生/湮灭算符旋转？
• RQ3 当 F = Θ(M) 时，是否可将门复杂度降低至 O(I³)，同时仅使用 O(1) 额外量子比特，相较于先前的 O(I²2^I) 或 O(F²) 边界？
• RQ4 是否可使第一量化风格的列表编码方式实现紧凑化，同时保持反对称化特性与高效操作？
• RQ5 为保持费米子旋转的 O(I) 门复杂度，所需的最小量子比特开销是多少？

主要发现

• 第一种编码在 F = o(M) 时使用 I + o(I) 个量子比特，实现 O(I) 门复杂度与 O(log M log log M) 电路深度，相较于先前工作实现了多项式级改进。
• 第二种编码在 F = Θ(M) 时使用 I + O(1) 个量子比特，门复杂度为 O(I³)，相较于先前的 O(I²2^I) 或 O(F²) 方法，门数实现了指数级改进。
• 空间使用在渐近意义上达到最优，第一种编码距离信息论下限 I = ⌈log₂(M 选 F)⌉ 仅相差 1 + o(1) 因子。
• 当 F = o(M) 时，门复杂度在 F 上实现二次方改进，且在 log M 上至少优于先前最优方法（最优度编码）四个数量级。
• 该编码方式保持了相干控制费米子旋转的高效实现，避免了先前紧凑编码中出现的指数级开销。
• 隐式编码采用分层位串结构与交错填充，实现恒定开销，同时通过并行列表旋转与索引查找实现低深度电路。