[论文解读] Succinct Planar Encoding with Minor Operations

Frank von der Kammer, Johannes Meintrup|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Algorithms and Data Compression被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对无标签平面图的简洁数据结构，支持边收缩和顶点删除操作，时间复杂度为 O(n)，并可在 O(1) 时间内完成邻接点和度数查询。通过结合 Holm 等人与 Blelloch & Farzan 的技术，该结构实现了 H(n) + o(n) 位的空间使用量——在低阶项范围内达到最优——并支持线性时间的外平面性测试，空间使用量为 O(n) 位。

ABSTRACT

Let $G$ be an unlabeled planar and simple $n$-vertex graph. Unlabeled graphs are graphs where the label-information is either not given or lost during the construction of data-structures. We present a succinct encoding of $G$ that provides induced-minor operations, i.e., edge contractions and vertex deletions. Any sequence of such operations is processed in $O(n)$ time in the word-RAM model. At all times the encoding provides constant time (per element output) neighborhood access and degree queries. Optional hash tables extend the encoding with constant expected time adjacency queries and edge-deletion (thus, all minor operations are supported) such that any number of edge deletions are computed in $O(n)$ expected time. Constructing the encoding requires $O(n)$ bits and $O(n)$ time. The encoding requires $\mathcal{H}(n) + o(n)$ bits of space with $\mathcal{H}(n)$ being the entropy of encoding a planar graph with $n$ vertices. Our data structure is based on the recent result of Holm et al. [ESA 2017] who presented a linear time contraction data structure that allows to maintain parallel edges and works for labeled graphs, but uses $Θ(n \log n)$ bits of space. We combine the techniques used by Holm et al. with novel ideas and the succinct encoding of Blelloch and Farzan [CPM 2010] for arbitrary separable graphs. Our result partially answers the question raised by Blelloch and Farzan whether their encoding can be modified to allow modifications of the graph. As a simple application of our encoding, we present a linear time outerplanarity testing algorithm that uses $O(n)$ bits of space.

研究动机与目标

• 设计一种针对无标签平面图的简洁数据结构，以高效支持诱导极小操作。
• 在信息论下界 H(n) 的 o(n) 位范围内实现空间使用量。
• 在 O(n) 时间内支持边收缩和顶点删除操作，同时实现常数时间的邻接点与度数查询。
• 通过可选的哈希表将结构扩展以支持边删除操作，期望时间复杂度为 O(1)。
• 将该编码应用于解决外平面性测试问题，实现 O(n) 时间复杂度与 O(n) 位空间使用。

提出的方法

• 该数据结构基于 r-分治与分隔符的分层分解，递归地将图划分为更小的子组件。
• 将 Blelloch 与 Farzan 的可分图简洁编码技术与 Holm 等人关于在收缩操作下维护图操作的技术相结合。
• 在最低层设置查找表，存储所有小平面图（最多 r = log⁴n 个顶点）及其边颜色，扩展结构以支持边着色，用于缩减规则。
• 通过选择字典维护全局与局部队列，高效定位度数为 1 或 2 的顶点，以执行缩减步骤。
• 边收缩通过合并邻接点集合并更新分层结构实现，通过预计算映射实现常数时间访问。
• 可选的哈希表用于实现期望 O(1) 时间的邻接查询，并支持边删除操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将平面图的简洁编码扩展以支持动态操作，如边收缩与顶点删除？
• RQ2 在使用接近最优空间的前提下，是否可能在这些操作下维持常数时间的邻接点与度数查询？
• RQ3 在支持所有诱导极小操作的同时，能否将空间使用量保持在 H(n) + o(n) 位以内？
• RQ4 该数据结构能否用于实现线性时间、空间高效的外平面性测试算法？
• RQ5 该编码能否扩展以支持边删除操作，且期望时间复杂度为常数？

主要发现

• 所提出的数据结构使用 H(n) + o(n) 位空间，实现了平面图的近似最优简洁性。
• 所有诱导极小操作——包括边收缩与顶点删除——的总时间复杂度为 O(n)。
• 在任意时刻，邻接点与度数查询均可在 O(1) 时间内完成，每个输出元素均如此。
• 通过可选的哈希表，邻接查询与边删除操作的期望时间复杂度为 O(1)。
• 通过应用 Wiegers 的缩减规则，该编码可实现线性时间、O(n) 位空间的外平面性测试算法。
• 在查找表中存储边着色小型图带来的空间开销为 O(n) 位，相对于整体 O(n) 空间限制可忽略不计。