[论文解读] Succinctness of the Complement and Intersection of Regular Expressions

Wouter Gelade, Frank Neven|Feb 20, 2008

semigroups and automata theory参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文確立了正則表達式補集與交集的緊緻下界，證明補集一個正則表達式可能導致雙指數級大小增長，且當 k 無界時，k 個正則表達式的交集可能導致雙指數級爆炸。作者構造了明確的正則表達式族，證明這些下界不可避免；並顯示對於單一不確定正則表達式，補集可在多項式時間內計算，而交集仍為指數級困難。

ABSTRACT

We study the succinctness of the complement and intersection of regular expressions. In particular, we show that when constructing a regular expression defining the complement of a given regular expression, a double exponential size increase cannot be avoided. Similarly, when constructing a regular expression defining the intersection of a fixed and an arbitrary number of regular expressions, an exponential and double exponential size increase, respectively, can in worst-case not be avoided. All mentioned lower bounds improve the existing ones by one exponential and are tight in the sense that the target expression can be constructed in the corresponding time class, i.e., exponential or double exponential time. As a by-product, we generalize a theorem by Ehrenfeucht and Zeiger stating that there is a class of DFAs which are exponentially more succinct than regular expressions, to a fixed four-letter alphabet. When the given regular expressions are one-unambiguous, as for instance required by the XML Schema specification, the complement can be computed in polynomial time whereas the bounds concerning intersection continue to hold. For the subclass of single-occurrence regular expressions, we prove a tight exponential lower bound for intersection.

研究动机与目标

• 確定構造給定正則表達式補集的正則表達式時，最壞情況下的大小增長。
• 分析多個正則表達式交集的緊緻性，特別是在固定數量與任意數量表達式的情況下。
• 識別正則表達式的自然子類，如單一不確定或單一出現表達式，其中補集或交集可更高效計算。
• 將 Ehrenfeucht 和 Zeiger 對 DFA 到正則表達式緊緻性的結果推廣至固定四字母字母表。
• 提供緊緻的複雜度界限，使其與構造結果表達式所需時間相符，從而確立已知演算法的最優性。

提出的方法

• 在四字母字母表上構造一組語言 $K_n$，透過編碼 Ehrenfeucht-Zeiger 語言 $Z_n$ 的二進位表示，這些語言由大小為 $\mathcal{O}(n^2)$ 的 DFA 接受，但需要大小至少為 $2^n$ 的正則表達式。
• 定義兩個大小為 $\mathcal{O}(n^2)$ 的正則表達式 $r_n$ 和 $s_n$，使其交集等於 $M_n$，而 $M_n$ 需要大小至少為 $2^{n-1}$ 的正則表達式，從而證明交集的指數級下界。
• 構造 $m = 2n+1$ 個大小為 $\mathcal{O}(n)$ 的單一不確定正則表達式，其交集定義了 $L_{2^n}$，而 $L_{2^n}$ 需要大小至少為 $2^{2^n}$ 的正則表達式，從而確立此子類中交集的雙指數級下界。
• 使用 Glushkov 構造法驗證所構造的單一不確定表達式產生確定性有限自動機，從而確認其結構性質。
• 證明單一不確定正則表達式的補集可在多項式時間內計算，而一般情況下的補集仍為雙指數級。
• 提供構造補集與交集表達式的時間複雜度界限，顯示下界是緊緻的，且與標準演算法的時間複雜度相符。

实验结果

研究问题

• RQ1 構造給定正則表達式補集的正則表達式時，最小的大小增長是多少？
• RQ2 計算 k 個正則表達式的交集時，最小的大小增長是多少，特別是在 k 固定或無界的情況下？
• RQ3 是否存在任何自然子類的正則表達式，其補集操作可於多項式時間內計算？若是，是哪些？
• RQ4 在固定的小字母表（如四個字母）上，DFA 與正則表達式之間的緊緻性差距精確為何？
• RQ5 是否存在正則表達式的子類，使得補集與交集均可於多項式時間內計算？

主要发现

• 正則表達式補集在最壞情況下可能導致雙指數級大小增長，且此界限是緊緻的：無法用更小的表達式定義補集。
• 當 k 無界時，k 個正則表達式的交集可能導致雙指數級大小增長，且此界限亦為緊緻。
• 對於固定數量 k 個正則表達式，交集可於指數時間內計算，且此為最優：最壞情況下無法避免指數級大小增長。
• 對於單一不確定正則表達式，補集可於多項式時間內計算，但結果表達式可能不再保持單一不確定性。
• 對於單一出現正則表達式，交集操作會導致指數級大小增長，且此界限是緊緻的。
• 存在一組大小為 $\mathcal{O}(n)$ 的單一不確定正則表達式族，其交集需要大小至少為 $2^{2^n}$ 的正則表達式，從而展示雙指數級爆炸。