[论文解读] Sufficient conditions for forward invariance and contractivity in hybrid inclusions using barrier functions

Mohamed Maghenem, Ricardo G. Sanfelice|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 41被引用 52

一句话总结

本文提出基于屏障函数的无穷小条件，用以证明混合包含（hybrid inclusions）的前向不变性、前向半不变性和收缩性，通过分解的流动与跳跃判据以及向量屏障函数来处理解的非唯一性与解提前终止。

ABSTRACT

This paper studies set invariance and contractivity in hybrid systems modeled by hybrid inclusions using barrier functions. After introducing the notion of a multiple barrier functions, we investigate the tightest possible sufficient conditions to guarantee different forward invariance and contractivity notions of a closed set for hybrid systems with nonuniqueness of solutions and solutions terminating prematurely. More precisely, we consider forward (pre-)invariance of sets, which guarantees solutions to stay in a set, and (pre-)contractivity, which further requires solutions that reach the boundary of the set to evolve (continuously or discretely) towards its interior. Our conditions for forward invariance and contractivity involve infinitesimal conditions in terms of multiple barrier functions. Examples illustrate the results. Keywords: Forward invariance, contractivity, barrier functions, hybrid dynamical systems.

研究动机与目标

• 通过确保集合保持不变或收缩性来激励对混合系统的安全性与稳定性分析。
• 将屏障函数引入作为定义混合包含的集合的工具。
• 推导无需求解的无穷小条件，保证前向（前向）不变性和（前向）收缩性。
• 在不变性/收缩性框架内处理解的非唯一性和提前终止。
• 将屏障函数方法扩展到向量值候选，以处理多个同时约束。

提出的方法

• 将屏障函数候选定义为向量值函数，其非正分量定义目标集。
• 给出无穷小的流动条件，保证前向前向不变性，适用于集合边界附近并可分解为多个屏障分量。
• 施加跳跃条件，确保屏障的非正性在离散跃迁中保持。
• 提供基于唯一性函数与横向性（transversality）的放宽条件，以减少流动条件所需的区域。
• 将该框架扩展到收缩性，导出对可微分和局部 Lipschitz 的屏障函数的条件。
• 提供示例以演示屏障函数方法在混合包含上的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用屏障函数的哪些充足且无穷小的条件能确保混合包含的前向前向不变性或前向不变性？
• RQ2 如何将屏障函数方法扩展到向量值候选，以处理由多重不等式定义的集合？
• RQ3 如何在不变性/收缩性分析中考虑解的非唯一性与提前终止？
• RQ4 关于收缩性的相应条件是什么，以及可微分与局部 Lipschitz 的屏障函数如何影响它们？
• RQ5 如何放宽提出的条件（例如通过唯一性函数或横截性）以扩大适用性？

主要发现

• 在温和正则性假设下，提供了使用向量屏障函数候选的前向前向不变性条件集合（定理1）。
• 将不变性条件分解为流动部分和跳跃部分，给出涉及梯度和可达方向的显式不等式。
• 将屏障函数方法扩展以通过向量屏障处理定义 K 的多个标量约束，而不仅仅是标量。
• 为一般闭集建立了收缩性结果（定理5和6），包括当屏障函数是连续可微或局部 Lipschitz 时。
• 给出放宽条件及注释（例如横截性、基于唯一性函数的放宽）以减少所需的流动区域并扩大适用性。
• 包含多个示例以说明混合系统中的前向前向不变性与收缩性。