[论文解读] Sufficient conditions for univalence and study of a class of meromorphic univalent functions

Bappaditya Bhowmik, Firdoshi Parveen|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文建立了单位圆盘内具有单极点的亚纯函数的单值性新充分条件，证明了 |U_f(z)| < 1 蕴含单值性。引入了类 𝒱_p(λ)，其严格大于先前研究的 𝒰_p(λ)，并推导出精确的系数界，包括第二泰勒系数的精确可变性区域，以及关于高阶系数的精确界的一个猜想。

ABSTRACT

In this article we consider the class $\mathcal{A}(p)$ which consists of functions that are meromorphic in the unit disc $\ID$ having a simple pole at $z=p\in (0,1)$ with the normalization $f(0)=0=f'(0)-1 $. First we prove some sufficient conditions for univalence of such functions in $\ID$. One of these conditions enable us to consider the class $\mathcal{V}_{p}(λ)$ that consists of functions satisfying certain differential inequality which forces univalence of such functions. Next we establish that $\mathcal{U}_{p}(λ)\subsetneq \mathcal{V}_{p}(λ)$, where $\mathcal{U}_{p}(λ)$ was introduced and studied in \cite{BF-1}. Finally, we discuss some coefficient problems for $\mathcal{V}_{p}(λ)$ and end the article with a coefficient conjecture.

研究动机与目标

• 改进单位圆盘内具有单极点的亚纯函数单值性的充分条件。
• 定义并研究满足 |U_f(z)| < λ 的新类 𝒱_p(λ) 的亚纯单值函数。
• 建立适当的包含关系 𝒰_p(λ) ⊊ 𝒱_p(λ) ⊊ Σ(p)，其中 Σ(p) 是 𝒜(p) 中的单值函数类。
• 研究 𝒱_p(λ) 中函数的系数问题，特别是泰勒系数的可变性区域。
• 提出关于 𝒱_p(λ) 中高阶泰勒系数精确界的猜想。

提出的方法

• 通过 F(ζ) = 1/f(1/ζ) 将 𝒜(p) 中的函数 f 变换为 𝒫_p 中的 F，将其与 𝒫_p ⊂ 𝒫 类联系起来。
• 对 F ∈ 𝒫_p 应用定理 A（来自 [1]），证明 |F’(ζ) - 1| ≤ 1 蕴含 F 的单值性，从而推出 f 的单值性。
• 利用恒等式 F’(ζ) - 1 = U_f(z)，其中 z = 1/ζ，将条件 |U_f(z)| < 1 转化为单值性的充分条件。
• 推导出 f(z) = z / (1 - (f''(0)/2)z + λz ∫₀^z w(t)dt) 的表示形式，其中 f ∈ 𝒱_p(λ)，且 w ∈ ℬ（𝔹 中的有界解析函数）。
• 应用该表示形式，计算第二泰勒系数 a₂(f) 的精确可变性区域，证明 |a₂(f) - 1/p| ≤ λp。
• 基于极值函数 k_p^λ，提出关于 |a_n(f)| 的精确界猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 𝒜(p) 中具有 z = p ∈ (0,1) 处单极点的亚纯函数的单值性最优充分条件是什么？
• RQ2 由 |U_f(z)| < λ 定义的新类 𝒱_p(λ) 与先前研究的类 𝒰_p(λ) 有何关系？
• RQ3 𝒱_p(λ) 中函数的第二泰勒系数 a₂(f) 的精确可变性区域是什么？
• RQ4 𝒰_p(λ) 中 |a_n(f)| 的精确系数界在更大的类 𝒱_p(λ) 中是否仍然成立且为精确界？
• RQ5 能否利用极值函数 k_p^λ 提出 𝒱_p(λ) 中高阶泰勒系数的精确界猜想？

主要发现

• 条件 |U_f(z)| < 1 是 𝒜(p) 中函数 f 单值性的充分条件，优于早期的界 ((1−p)/(1+p))²。
• 类 𝒱_p(λ) 严格大于 𝒰_p(λ)，且 𝒰_p(λ) ⊊ 𝒱_p(λ) ⊊ Σ(p)，通过构造属于 𝒱_p(λ) 但不属于 𝒰_p(λ) 的函数得以证明。
• 第二泰勒系数 a₂(f) 的精确可变性区域是闭圆盘 |a₂(f) - 1/p| ≤ λp，且当 f_θ(z) = z / (1 - (z/p)(1 + λp²e^{iθ}) + λe^{iθ}z²) 时等号成立。
• 界 |a₂(f)| ≤ 1/p + λp 是精确的，且当函数 k_p^λ(z) = -pz / ((z−p)(1−λpz)) 时等号成立。
• 函数 k_p^λ 是类 𝒱_p(λ) 的极值函数，且提出猜想：对所有 n ≥ 3，有 |a_n(f)| ≤ (1−λ^n p^{2n}) / (p^{n−1}(1−λp²))，且等号在 k_p^λ 处成立。