[论文解读] Sum-networks: system of polynomial equations, reversibility, insufficiency of linear network coding, unachievability of coding capacity

Brijesh Kumar, Bikash Kumar Dey|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2009

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文引入了求和网络——一种所有接收端均需求源符号之和的有向无环网络——并证明其在可解性与线性可解性方面与多单播网络等价。研究证明，有限域 F 上的标量线性可解性恰好对应于一个整系数多项式方程组在 F 中存在公共根，从而揭示了线性网络编码的不足，以及在求和网络中无法实现容量。

ABSTRACT

A directed acyclic network is considered where all the terminals demand the sum of the symbols generated at all the sources. We call such a network as a sum-network. It is shown that there exists a solvably (and linear solvably) equivalent sum-network for any multiple-unicast network (and more generally, for any acyclic directed network where each terminal node demands a subset of the symbols generated at all the sources). It is also shown that there exists a linear solvably equivalent multiple-un icast network for every sum-network. As a consequence, many known results for multiple-unicast networks also hold for sum-networks. Specifically, it is shown that for any set of polynomials having integer coefficients, there exist s a sum-network which is scalar linear solvable over a finite field F if and only if the polynomials have a common root in F . Similarly, the insufficiency of linear network coding and unachievability of the network coding capacity is proved for sum-networks. It is shown that there exists a solvable sum-network whose reverse network is not solvable. On the other hand, a sum-network and its reverse network are shown to be solvably equivalent under fractional vector linear network coding.

研究动机与目标

• 定义并分析求和网络，其中所有接收端均需求源符号之和。
• 建立求和网络与多单播网络在可解性与线性可解性方面的等价性。
• 证明有限域 F 上求和网络的标量线性可解性等价于一个整系数多项式方程组在 F 中存在公共根。
• 证明线性网络编码在求和网络中存在不足，且网络编码容量无法实现。
• 研究求和网络的可逆性及其在分数阶向量线性编码下的可解性。

提出的方法

• 利用网络变换技术，为任意多单播网络构造一个在可解性与线性可解性方面等价的求和网络。
• 构建一组定义在整数上的多项式方程，其在有限域 F 中的公共根决定了求和网络的标量线性可解性。
• 运用代数几何与有限域理论，将多项式可解性与网络可解性联系起来。
• 证明若一个求和网络可解，其反向网络可能不可解，从而揭示可解性中的非对称性。
• 证明在分数阶向量线性网络编码下，求和网络与其反向网络在可解性上等价。
• 通过建立的等价关系，将多单播网络的已知结果应用于求和网络。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个多单播网络均可通过变换转化为在可解性与线性可解性方面等价的求和网络？
• RQ2 有限域 F 上求和网络的标量线性可解性是否等价于一个整系数多项式方程组在 F 中存在公共根？
• RQ3 线性网络编码是否无法在求和网络中实现容量？若是，原因是什么？
• RQ4 是否存在一个求和网络可解，但其反向网络不可解？
• RQ5 在何种条件下，求和网络与其反向网络在可解性上等价？

主要发现

• 对于任意一组整系数多项式，存在一个求和网络，其在有限域 F 上标量线性可解当且仅当这些多项式在 F 中存在公共根。
• 存在可解的求和网络，其反向网络不可解，揭示了网络可解性中的根本不对称性。
• 证明了线性网络编码在求和网络中存在不足，即线性编码无法始终实现网络容量。
• 确立了在求和网络中网络编码容量不可达，表明任何线性编码方案均无法实现容量。
• 在分数阶向量线性网络编码下，求和网络与其反向网络在可解性上等价，解决了标量线性编码中观察到的不对称性。
• 通过构建的等价关系，将多单播网络的已知性质扩展至求和网络。