[论文解读] Sum-of-Squares Tensors and their Sum-of-Squares Rank

Haibin ChenGuoyin Li, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文研究了平方和（SOS）张量及其SOS-秩，建立了多种结构化偶数阶对称张量（如B0-张量、H-张量以及正半定Z-张量的绝对张量）的SOS性质。针对具有有界指数的张量，本文提供了更紧致的SOS-秩与SOS-宽度的上界，并将SOS-秩与正定矩阵上的秩最小化优化问题联系起来。

ABSTRACT

A fundamental and challenging problem in dealing with tensors is to determine its positive semidefiniteness which is known to be an NP-hard problem in general. An important class of tractable positive semi-definite tensors is the sum-of-squares (SOS) tensors. SOS tensors have a close connection with SOS polynomials, which are very important in polynomial theory and polynomial optimization. In this paper, we examine SOS properties of classes of structured tensors, and study the SOS-rank of SOS tensors. We first establish SOS properties of various even order symmetric structured tensors available in the literature. These include weakly diagonally dominated tensors, B0-tensors, double B-tensors, quasi-double B0-tensors, MB0-tensors, H-tensors, and absolute tensors of positive semidefinite Z-tensors. We also examine the SOS-rank for SOS tensors and the SOS-width for SOS tensor cones. The SOS-rank provides the minimal number of squares in the sums-of-squares decomposition for the SOS tensors, and, for a specific SOS tensor cone, its SOS-width is the maximum possible SOSrank for all the tensors in this cone. We first deduce an up bound for general SOS tensors and the SOS-width for general SOS tensor cone using the known results in the literature of polynomial theory. Then, we provide an explicit sharper estimate for SOS-rank of SOS tensors with bounded exponent and identify the SOS-width for the tensor cone consisting of all SOS tensors with bounded exponent. Finally, we also show that the SOS-rank of an SOS tensor is equal to the optimal value of a related rank optimization problem over positive semi-definite matrix constraint.

研究动机与目标

• 刻画弱对角占优、B0、双B、准双B0、MB0、H-张量以及正半定Z-张量的绝对张量等结构化偶数阶对称张量的SOS性质。
• 定义并分析SOS张量的SOS-秩，该值量化了其分解中平方项的最小数量。
• 引入并计算SOS张量锥的SOS-宽度，表示该锥中所有张量的SOS-秩的最大值。
• 为具有有界指数的张量建立更紧致的SOS-秩上界，改进了现有文献中的一般性结果。
• 将张量的SOS-秩与正定矩阵约束下的秩最小化优化问题的最优值联系起来。

提出的方法

• 利用多项式理论中的已知结果，推导出一般SOS张量的SOS-秩及一般SOS张量锥的SOS-宽度的上界。
• 通过利用结构约束，对具有有界指数的SOS张量的SOS-秩提供了显式且更精确的估计。
• 通过解析估计技术，刻画了所有具有有界指数的SOS张量锥的SOS-宽度。
• 将SOS-秩表述为在正定矩阵约束下的秩最小化问题的最优值。
• 使用代数与凸分析工具，分析SOS分解与张量锥的性质。
• 应用SOS多项式的相关已知结果，将洞察扩展至张量情形，尤其针对结构化类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些结构化偶数阶对称张量被保证为平方和（SOS）张量？
• RQ2 具有有界指数的SOS张量的SOS-秩的最紧致上界是什么？
• RQ3 如何显式确定张量锥的SOS-宽度，特别是具有有界指数的SOS张量锥？
• RQ4 张量的SOS-秩与正定矩阵上的秩最小化优化问题之间存在何种关系？
• RQ5 SOS-秩能否被表征为一个约束矩阵优化问题的最优值？

主要发现

• 若干结构化张量类——包括弱对角占优、B0、双B、准双B0、MB0、H-张量以及正半定Z-张量的绝对张量——被证明为SOS张量。
• 为具有有界指数的SOS张量推导出显式且更紧致的SOS-秩上界，优于现有文献中的一般性结果。
• 显式确定了所有具有有界指数的SOS张量锥的SOS-宽度，代表该锥中可实现的最大SOS-秩。
• 任一SOS张量的SOS-秩等于在正定矩阵约束下，秩最小化问题的最优值。
• SOS-秩与SOS-宽度的概念与多项式优化理论正式关联，将SOS多项式的结果推广至张量领域。
• 利用多项式理论中的已知结果，建立了SOS-秩与SOS-宽度的理论界，为后续算法开发奠定了基础。