[论文解读] Summability estimates on transport densities with dirichlet regions on the boundary via symmetrization techniques

Samer Dweik, Filippo Santambrogio|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了在 Dirichlet 条件下，当质量从内部源 $f^+ \in L^p(\Omega)$ 输送到边界 $\partial\Omega$ 时，最优传输问题中传输密度 $\sigma$ 的 $L^p$ 可 summability 估计。通过对称化技术，证明了当 $\Omega$ 满足统一外接球条件时，$\sigma \in L^p\left(\Omega\right)$，将先前结果推广至 $p = \infty$ 及非凸区域。

ABSTRACT

In this paper we consider the mass transportation problem in a bounded domain $Ω$ where a positive mass f + in the interior is sent to the boundary $\partialΩ$, appearing for instance in some shape optimization problems, and we prove summability estimates on the associated transport density $σ$, which is the transport density from a diffuse measure to a measure on the boundary f -- = P \# f + (P being the projection on the boundary), hence singular. Via a symmetrization trick, as soon as $Ω$ is convex or satisfies a uniform exterior ball condition, we prove L p estimates (if f + $\in$ L p, then $σ$ $\in$ L p). Finally, by a counterexample we prove that if f + $\in$ L $\infty$ $(Ω)$ and f -- has bounded density w.r.t. the surface measure on $\partialΩ$, the transport density $σ$ between f + and f -- is not necessarily in L $\infty$ $(Ω)$, which means that the fact that f -- = P \# f + is crucial.

研究动机与目标

• 建立当质量从内部源 $f^+$ 输送到边界 $\partial\Omega$ 时，传输密度 $\sigma$ 的可 summability 估计。
• 研究当 $f^-$ 奇异（支持在 $\partial\Omega$ 上）时，$\sigma$ 是否继承 $f^+$ 的 $L^p$ 可积性，特别是当 $p \geq d/(d-1)$ 时。
• 将已知的 $L^p$ 结果从凸区域推广至满足统一外接球条件的区域。
• 通过构造反例阐明条件 $f^{-} = P_\# f^+$ 的必要性，其中 $f^+ \in L^\infty$ 但 $\sigma \notin L^\infty$。

提出的方法

• 使用对称化技术，将 $\Omega$ 中的传输密度 $\sigma$ 与在对称区域中 $f^+$ 关于 $\partial\Omega$ 反射后的传输密度相关联。
• 利用在多面体或球形多面体区域中，$\sigma$ 等于对称传输密度在 $\Omega$ 上的限制这一事实。
• 应用逼近论证，将结果从球形多面体推广至满足外接球条件的一般区域。
• 利用分部积分法及边界项的符号分析，控制 $\sigma$ 的 $L^p$ 范数。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中构造反例，使用梯形源和边界线段目标，表明即使 $f^+ \in L^\infty$，$\sigma$ 也可能不属于 $L^\infty$。
• 通过涉及角度和距离的几何估计，分析 $\sigma$ 在角点附近的局部行为，得出在反例中 $\sigma \sim r^{-1/2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\Omega$ 的何种几何条件下，$f^+ \in L^p(\Omega)$ 蕴含 $\sigma \in L^p(\Omega)$，当 $f^{-} = P_\# f^+$ 时？
• RQ2 在适当的区域正则性下，$\sigma$ 的 $L^p$ 可 summability 是否可推广至 $p = \infty$？
• RQ3 $f^{-} = P_\# f^+$ 条件是否对 $\sigma$ 继承 $f^+$ 的 $L^p$ 正则性至关重要，特别是在 $f^{-}$ 奇异时？
• RQ4 当 $f^+ \in L^\infty$ 且 $f^{-}$ 支持在低维集合上时，$\sigma$ 的最优可 summability 阈值是什么？
• RQ5 $\Omega$ 的几何结构，特别是角点附近，如何影响 $\sigma$ 的局部可积性？

主要发现

• 对任意 $p \in [1, \infty]$，若 $f^+ \in L^p(\Omega)$ 且 $\Omega$ 满足统一外接球条件，则传输密度 $\sigma$ 属于 $L^p(\Omega)$。
• 该结果对 $p = \infty$ 成立，此前在类似几何假设下尚未建立。
• 对称化方法使得 $L^p$ 估计可从凸区域推广至满足外接球条件的更广区域类。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中构造的反例表明，即使 $f^+ \in L^\infty(\Omega)$ 且 $f^{-}$ 在 $\partial\Omega$ 上有有界密度，$\sigma$ 仍可能不属于 $L^\infty(\Omega)$，从而证明了 $f^{-} = P_\# f^+$ 条件的必要性。
• 在反例中，$\sigma$ 满足 $\sigma(B_{2r}) \gtrsim r^{3/2}$，在角点 $(2,0)$ 附近，这意味着 $\sigma \notin L^\infty$ 且 $\sigma \notin L^4$。
• 精细分析表明，$\sigma \in L^p(\Delta_1)$ 当且仅当 $p < 3$，尽管 $f^+ \in L^\infty$ 且 $d=2$，表明目标的维数影响正则性。