[论文解读] Sums of equivalent sequences of positive operators in von Neumann factors

Catalin Dragan, Victor Kaftal|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文证明，在无限σ-有限冯诺依曼因子中，若满足谱投影与迹无穷的充分条件，则正算子A可分解为无穷级数A = ∑_{j=1}^∞ C_j，其中每个C_j与给定的正算子B_j冯诺依曼等价。该研究证实了Bourin与Lee关于B(ℋ)中等价正算子之和的猜想，并将其推广至一般冯诺依曼因子，给出了III型因子中此类分解的必要与充分条件。

ABSTRACT

Let A be a positive operator in an infinite sigma-finite von Neumann factor M and let B_j be a sequence of positive elements in M. We give sufficient conditions for decomposing A into a sum of elements C_j equivalent to B_j for all j ( C equivalent to B in M means that C=XX* and B=X*X for some X in M) and when C_j are unitarily equivalent to B_j for all j. This extends recent work of Bourin and Lee for the case of B_j= B for all j and M=B(H) and answers affirmatively their conjecture. For the case when B_j= B for all j we provide necessary conditions, which in the type III case are also sufficient.

研究动机与目标

• 将Bourin与Lee在B(ℋ)中关于正算子分解的工作推广至一般的无限σ-有限冯诺依曼因子。
• 为冯诺依曼因子中的正算子A建立充分条件，使其可表示为无穷级数A = ∑ C_j，其中C_j ∼ B_j，且{B_j}为给定的正算子序列。
• 为III型因子中此类分解提供必要与充分条件，且证明这些条件确为必要且充分。
• 强化现有关于σ-有限因子中投影之和的结果，并以此为基础构建等价正算子的分解。

提出的方法

• 利用先前工作（Kaftal, Ng, Zhang）中关于投影之和的分解作为构造等价正算子的基础工具。
• 通过谱条件与迹条件，将A分解为满足C_j ∼ B_j的算子C_j的问题，转化为投影之和的分解问题。
• 应用Murray-von Neumann等价性概念（C ∼ B 当且仅当存在X ∈ ℳ使得C = XX*，B = X*X），在因子中建立C_j与B_j之间的关系。
• 利用相对于Breuer理想𝒥的谱算子范数‖A‖_e与本质谱σ_e(A)，刻画A与B_j在无穷远处的行为。
• 利用对无穷多个j，谱投影χ_{(β,∞)}(B_j)存在统一下界β > 0的性质，以确保所需等价性的存在。
• 通过直和分解与投影比较（P ≺ Q）构造C_j，从B_j与辅助投影出发，确保所需的等价性及强算子拓扑下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在σ-有限冯诺依曼因子中，正算子A在何种条件下可表示为无穷级数A = ∑ C_j，其中C_j ∼ B_j，且{B_j}为给定的正算子序列？
• RQ2 Bourin与Lee的猜想——此类分解在B(ℋ)中成立，是否可推广至一般冯诺依曼因子？
• RQ3 当B_j = B对所有j成立时，此类分解的必要与充分条件是什么，特别是在III型因子中？
• RQ4 A与B的谱性质，如‖A‖_e、χ_{‖B‖}(B)以及零投影N_A、N_B，如何影响此类分解的可能性？
• RQ5 是否可选择分解使得每个C_j具有无穷维核？在何种条件下可实现？

主要发现

• 本文证实了Bourin与Lee的猜想：若A, B ∈ B(ℋ)^+，τ((A−I)_+) = ∞，且B为非零压缩算子，则存在A = ∑_{j=1}^∞ C_j，其中C_j ∼ B。
• 当B_j = B对所有j成立时，本文在III型因子中给出了A = ∑ C_j且C_j ∼ B的必要与充分条件，其中条件‖A‖_e = ‖B‖与χ_{‖B‖}(B) = 0为必要且充分。
• 在半有限因子中，若对所有j都有N_{C_j}为无穷维，则条件‖A‖_e = ‖B‖与χ_{‖B‖}(B) = 0为A = ∑ C_j且C_j ∼ B的必要与充分条件。
• 当B = ‖B‖χ_{‖B‖}(B)且A = ‖A‖_eχ_{‖A‖_e}(A)时，若χ_{‖A‖_e}(A)为无穷维且‖A‖_e = ‖B‖，则分解存在。
• 对于酉等价性（C_j ≅ B），本文证明A = ∑ C_j且C_j ≅ B成立的条件为：‖A‖_e > ‖B‖，或‖A‖_e = ‖B‖且χ_{‖B‖}(B) = 0，且N_A ≺ N_B。
• 在III型因子中，A = ∑ C_j且C_j ≅ B成立当且仅当‖A‖ > ‖B‖，或‖A‖ = ‖B‖，0 ∈ σ_e(B)，且N_A ≺ N_B，此外还需满足额外的谱与投影条件。