[论文解读] Sums of regular Cantor sets of large dimension and the Square Fibonacci Hamiltonian

David Damanik, Anton Gorodetski|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文证明，对于一个 $ C^2 $-光滑的动态定义康托集族，若其维数之和超过一，则对几乎所有参数，该康托集与紧集的算术和具有正勒贝格测度。该结果适用于平方斐波那契哈密顿量，证明其谱具有正勒贝格测度，尽管其态密度测度为纯奇异测度，从而解决了数学物理中的一个关键谱问题。

ABSTRACT

We show that under natural technical conditions, the sum of a $C^2$ dynamically defined Cantor set with a compact set in most cases (for almost all parameters) has positive Lebesgue measure, provided that the sum of the Hausdorff dimensions of these sets exceeds one. As an application, we show that for many parameters, the Square Fibonacci Hamiltonian has spectrum of positive Lebesgue measure, while at the same time the density of states measure is purely singular.

研究动机与目标

• 确定动态定义康托集与紧集的和具有正勒贝格测度的条件。
• 将关于康托集和集的已知结果从仿射或齐次情形推广到一般的 $ C^2 $-光滑族。
• 解决平方斐波那契哈密顿量的谱测度行为，特别是谱的勒贝格测度的正性。
• 提供以豪斯多夫维数和康托集族光滑性为条件的和集正测度的一般判据。

提出的方法

• 利用空间与参数方向的 $ C^2 $-光滑性来控制康托集结构的变化。
• 应用分形几何与测度论中的定理，特别是关于精确维数测度及其卷积的理论。
• 借助测度的下与上豪斯多夫维数概念，分析和集的标度行为。
• 在一般参数族的背景下，运用纽豪斯间隙引理及相关厚度论证。
• 通过从 $ \mathbb{R}^2 $ 到 $ \mathbb{R} $ 的投影，将问题约化为测度卷积的研究。
• 通过在谱参数空间中验证维数与光滑性条件，将结果应用于平方斐波那契哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ C^2 $-光滑的动态定义康托集与紧集的和具有正勒贝格测度？
• RQ2 当豪斯多夫维数之和超过一，是否能保证和集的勒贝格测度为正？
• RQ3 即使态密度测度为纯奇异测度，平方斐波那契哈密顿量的谱是否仍具有正勒贝格测度？
• RQ4 能否将关于和集的通用结果推广到具有显式光滑性条件的非通用参数化康托集族？

主要发现

• 对于满足 $ \dim_{\mathrm{H}}C_\lambda + \dim_{\mathrm{H}}K > 1 $ 的 $ C^2 $-光滑动态定义康托集族，对几乎所有 $ \lambda $，和集 $ C_\lambda + K $ 具有正勒贝格测度。
• 即使厚度乘积 $ \tau(C) \cdot \tau(K) < 1 $，该结果依然成立，从而超越了纽豪斯间隙引理的范围。
• 平方斐波那契哈密顿量的态密度测度为纯奇异测度，但其谱对许多参数仍具有正勒贝格测度。
• 维数之和小于一的两个精确维数测度的卷积为奇异测度，这有助于确立谱测度行为。
• 该方法适用于非仿射、非齐次康托集，扩展了此前对中间-$ \alpha $ 或齐次康托集的结果。
• 在齐次康托集情形，和集测度为零的例外参数集的豪斯多夫维数为零，尽管本文重点在于全测度结果。