[论文解读] Sums of squares of eigenvalues and the vector chromatic number

Gabriel Coutinho, Thomás Jung Spier|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2023

Graph theory and applicationsMathematics被引用 3

一句话总结

本文证明了Wocjan、Elphick与Anekstein的猜想，确立了图的邻接矩阵的正特征值或负特征值的平方和的最小值，下界为两倍边数除以向量色数。证明利用了向量色数的一个新颖半定规划（SDP）形式化，并通过矩阵分解与柯西-施瓦茨不等式推导出该下界。

ABSTRACT

In this short paper we prove that the sum of the squares of negative (or positive) eigenvalues of the adjacency matrix of a graph is lower bounded by the sum of the degrees divided by the vector chromatic number, resolving a conjecture by Wocjan, Elphick and Anekstein (2018).

研究动机与目标

• 解决Wocjan、Elphick与Anekstein（2018）关于以向量色数表示特征值平方和下界的猜想。
• 强化Ando与Lin（2018）以及Guo与Spiro（2020）在图论谱界方面的先前结果。
• 提供一种新且直接的证明，避免依赖于对边传递图的同态，通过向量色数SDP形式化的结构性质实现。
• 建立一个紧致的谱不等式，将正或负特征值的平方和与向量色数及边数联系起来。

提出的方法

• 提出一种新颖的半定规划（SDP）形式化向量色数，约束条件为⟨I + A̅, Z⟩ = 1，其中A̅为补图的邻接矩阵。
• 引入一个关键不等式：对所有Z ≥ 0且Z ⪰ 0，有⟨J, Z⟩ ≤ χ_vec(G)⟨J - A, Z⟩，该不等式源自SDP形式化。
• 应用引理3（矩阵分解不等式），在正交性与边补约束下，关联A⁺与A⁻的平方范数。
• 使用谱分解A = A⁺ - A⁻，其中A⁺与A⁻分别为正特征子空间与负特征子空间上的半正定投影。
• 对非边上的A⁺与A⁻的非对角线项应用柯西-施瓦茨不等式，将平方和与向量色数关联起来。
• 通过对称性，通过互换A⁺与A⁻的角色，建立下界min{s⁺, s⁻} ≥ 2m / χ_vec(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的邻接矩阵的正特征值或负特征值的平方和是否如Wocjan、Elphick与Anekstein所猜想的那样，有下界2m / χ_vec(G)？
• RQ2 向量色数能否通过一种新的SDP形式化重新表达，从而简化涉及特征值平方和的谱界？
• RQ3 证明中不依赖同态假设是否导致谱图不变量的更一般或更稳健的不等式？
• RQ4 正负特征子空间之间的相互作用能否通过矩阵分解与SDP对偶性形式化，以获得紧致的谱界？
• RQ5 不等式min{s⁺, s⁻} ≥ 2m / χ_vec(G)在所有图类中是否紧致？其极值情形为何？

主要发现

• 正特征值的平方和s⁺与负特征值的平方和s⁻满足min{s⁺, s⁻} ≥ 2m / χ_vec(G)，其中m为边数。
• 该下界通过向量色数的新SDP形式化证明，使得推导过程可直接进行，无需依赖图同态。
• 证明建立了s⁺ ≤ (χ_vec(G) - 1)s⁻与s⁻ ≤ (χ_vec(G) - 1)s⁺，二者共同蕴含主不等式。
• 该结果强化了Ando与Lin（2018）以及Guo与Spiro（2020）的先前边界，提供了更紧致的谱约束。
• 关键技术洞见在于：在非对角线项上应用矩阵分解与柯西-施瓦茨不等式，以关联A⁺与A⁻的平方范数。
• 该边界具有对称性，且在谱结构与色数结构对齐时达到紧致性，例如在某些强正则图中。