[论文解读] Sums of squares of Krawtchouk polynomials, Catalan numbers, and some algebras over the Boolean lattice

Philip Feinsilver|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2016

Advanced Algebra and Logic参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文利用矩阵表示法和参数 $ r = \frac{1-p}{p} $，推导出克劳特契克多项式平方部分和的一般恒等式，对称情形（$ r=1 $）下该恒等式与卡塔兰数及超卡塔兰数相关联。主要贡献在于通过泽翁代数将这些多项式和与布尔格上的 *-代数维数联系起来，揭示了与二项式系数和卡塔兰数相关的组合结构。

ABSTRACT

Writing the values of Krawtchouk polynomials as matrices, we consider weighted partial sums along columns. For the general case, we find an identity that, in the symmetric case yields a formula for such partial sums. Complete sums of squares along columns involve "Super Catalan" numbers. We look as well for particular values (matrix entries) involving the Catalan numbers. Properties considered and developed in this work are applied to calculations of various dimensions that describe the structure of some *-algebras over the Boolean lattice based on inclusion/superset relations expressed algebraically using zeons [zero-square elements].

研究动机与目标

• 利用矩阵表示法和参数 $ r = \frac{1-p}{p} $，推导克劳特契克多项式平方部分和的一般恒等式。
• 在对称情形（$ p = 1/2 $）下，探索克劳特契克多项式平方完全和与超卡塔兰数之间的联系。
• 识别克劳特契克矩阵中对应于卡塔兰数的特定矩阵元素。
• 将多项式恒等式应用于计算由包含/上包关系生成的布尔格上 *-代数的维数。
• 建立克劳特契克多项式和与二项式系数、卡塔兰数及中心化子维数等组合不变量之间的关系。

提出的方法

• 利用克劳特契克多项式值 $ \phi^{N}_{nj} $ 的矩阵表示，分析列方向的平方和。
• 应用帕斯卡型递推恒等式 (i) $ \phi^{N}_{nj} + \phi^{N}_{n-1j} = \phi^{N+1}_{nj} $ 和 (ii) $ \phi^{N}_{nj} - r\phi^{N}_{n-1j} = \phi^{N+1}_{nj+1} $，推导和恒等式。
• 推导出一个主恒等式（定理 3.1），涉及加权平方克劳特契克多项式的和，包含 $ (N-2n)(\phi^{N}_{nj})^2 $、可消去项，以及依赖于 $ r $ 的系数。
• 将一般恒等式特化到对称情形 $ r=1 $，导出涉及二项式系数和卡塔兰数的求值结果。
• 将克劳特契克矩阵恒等式应用于通过泽翁代数的正则表示计算布尔格上 *-代数的维数。
• 利用关系 $ (\Phi^N)^2 = 2^N I $ 和符号对称性，计算代数的次数、维数、中心及中心化子维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般 $ r $，克劳特契克多项式平方的部分和能否以闭式表达？
• RQ2 在对称情形下，克劳特契克多项式平方的完全和与超卡塔兰数之间有何联系？
• RQ3 克劳特契克矩阵中的哪些特定元素对应于卡塔兰数？
• RQ4 克劳特契克多项式恒等式如何与布尔格上 *-代数的结构相关联？
• RQ5 由布尔格上的包含与上包关系生成的代数的中心、代数及中心化子的维数是多少？

主要发现

• 一般平方和恒等式（定理 3.1）将 $ \sum_{n=0}^{m}(N-2n)(\phi^{N}_{nj})^2 $ 表示为 $ (N-j)(\phi^{N-1}_{mj})^2 $、$ rj(\phi^{N-1}_{mj-1})^2 $ 及涉及 $ \sum_{n=0}^{m}(r(\phi^{N}_{nj-1})^2 + (\phi^{N}_{nj})^2) $ 的校正项。
• 在对称情形 $ r=1 $ 下，沿列的完全平方和为 $ \sum_{n=0}^{N} (\Phi^{N}_{nj})^2 = \binom{2N}{N} $，即一个超卡塔兰数。
• 卡塔兰数作为克劳特契克矩阵中的特定元素出现：$ \Phi^{N}_{11} = C_N $，即第 $ N $ 个卡塔兰数。
• 由包含算子 $ U $ 生成的代数，其维数为 $ \delta = n+1 $，次数为 $ 2^n $，中心化子维数为 $ \zeta = \binom{2n}{n} $。
• 由 $ T $ 和 $ T^* $ 生成的代数，其维数为 $ \delta = \binom{n+3}{3} $，中心维数为 $ 1 + \lfloor n/2 \rfloor $，中心化子维数为 $ \zeta = C_n $，即第 $ n $ 个卡塔兰数。
• 由 $ TT^* $ 和 $ T^*T $ 生成的代数，其维数 $ \delta $ 在 $ n $ 为偶数时为 $ \frac{(n+2)^2}{4} $，在 $ n $ 为奇数时为 $ \frac{(n+1)(n+3)}{4} $；中心化子维数 $ \zeta $ 在 $ n $ 为偶数时为 $ \binom{n}{n/2}^2 $，在 $ n $ 为奇数时为 $ 2\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n-1}{\lfloor n/2\rfloor} $，该结果经定理 3.1 验证。