[论文解读] Sums of squares of Tetranacci numbers: A generating function approach

Helmut Prodinger, Sarah J. Selkirk|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于Hadamard积的生成函数方法，推导出四元Fibonacci数平方和的显式公式，并将该方法推广至更高阶的Fibonacci序列。通过显式分解生成函数分母的广义二项式级数，本文为广义Fibonacci数提供了类似Binet公式的闭式表达式。

ABSTRACT

It is demonstrated how an explicit expression of the (partial) sum of Tetranacci numbers can be found and proved using generating functions and the Hadamard product. We also provide a Binet-type formula for generalized Fibonacci numbers, by explicitly factoring the denominator of their generating functions.

研究动机与目标

• 通过生成函数推导四元Fibonacci数平方和的显式闭式表达式。
• 展示Hadamard积的生成函数如何系统化地计算此类平方和。
• 将该方法推广至更高阶Fibonacci序列（如五元Fibonacci等），并推导相应的恒等式。
• 通过显式计算生成函数分母的所有根，利用广义二项式级数，为广义Fibonacci数构造类似Binet的公式。
• 通过符号计算验证该方法，并利用计算机代数系统验证其与已知恒等式的一致性。

提出的方法

• 利用生成函数的Hadamard积计算 $ u_n^2 $ 的生成函数，其中 $ u_n $ 为四元Fibonacci数。
• 在Maple中使用Gfun包符号计算有理生成函数的Hadamard积。
• 通过乘以 $ \frac{1}{1-z} $ 推导部分和 $ \sum_{k=0}^n u_k^2 $ 的生成函数。
• 将和表示为辅助序列 $ t_n = \frac{1}{c} u_n u_{n+k} $ 的形式，从而实现和的紧凑表示。
• 使用广义二项式级数因式分解广义Fibonacci数生成函数的分母 $ 1 - 2z + z^{h+1} $。
• 通过广义二项式级数表示的根进行部分分式分解，推导出完整的类似Binet的公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用生成函数与Hadamard积推导并证明四元Fibonacci数平方和？
• RQ2 Hadamard积方法能否系统地应用于更高阶Fibonacci序列，以推导平方和的闭式表达式？
• RQ3 分母 $ 1 - z - z^2 - \cdots - z^h $ 的根的显式形式是什么？如何利用广义二项式级数表示这些根？
• RQ4 如何通过因式分解生成函数的分母，为广义Fibonacci数构造类似Binet的公式？
• RQ5 符号计算工具（如Gfun）在自动推导与验证此类恒等式方面能发挥多大作用？

主要发现

• 生成函数 $ \sum_{n \geq 0} u_n^2 z^n $ 的显式计算结果为 $ \frac{z - z^2 - 2z^3 - 2z^4 - 2z^5 + z^6 + z^7}{1 - 2z - 4z^2 - 6z^3 - 12z^4 + 4z^5 + 6z^6 + 2z^8 - z^{10}} $，通过生成函数技术验证了平方和的正确性。
• 部分和 $ \sum_{k=0}^n u_k^2 $ 表示为 $ \frac{1}{3} + \frac{1}{3}(2t_n + t_{n-1} - t_{n-2} - t_{n-3} + \cdots) $，其中 $ t_n = \frac{1}{2} u_n u_{n+2} $，提供了一种等价但计算更高效的公式。
• 对于五元Fibonacci数（$ h=5 $），平方和的生成函数推导为 $ \frac{3z}{8(1-z)} + \text{分母为15次的有理函数} $，表明该方法具有可扩展性。
• 通过显式计算 $ 1 - 2z + z^{h+1} $ 的全部 $ h+1 $ 个根，利用广义二项式级数，成功构造了广义Fibonacci数的完整类似Binet的公式。
• 对于四元Fibonacci数（$ h=4 $），五个根通过数值方法计算得出：$ r_4 \approx 0.51879 $，$ r_0 = 1 $，$ r_1 \approx -0.11407 - 1.21675i $，$ r_2 \approx -1.29065 $，$ r_3 \approx -0.11407 + 1.21675i $，从而实现系数的精确表示。
• 第 $ n $ 个四元Fibonacci数表示为 $ u_n = A r_4^{-n} + B r_0^{-n} + C r_1^{-n} + D r_2^{-n} + E r_3^{-n} $，其中系数为 $ A \approx 0.29381 $，$ B = 0 $，$ C \approx -0.05045 - 0.16968i $，$ D \approx -0.19291 $，$ E \approx -0.05045 + 0.16968i $，从而获得完整的闭式表达。