[论文解读] Sums of the triple divisor function over values of a ternary quadratic form

Qingfeng Sun, Deyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文首次为三元二次型 n₁² + n₂² + n₃² 取值时的三重除数函数 τ₃(n) 的和建立了渐近公式，采用 Voronoi 求和与特征和估计方法。证明了当 1 ≤ n₁,n₂,n₃ ≤ √x 时，该和具有 (log x)²、log x 和常数项的主项，误差项为 Oε(x¹¹/⁸⁺ε)，显著优于 Guo 和 Zhai 所得的 τ₃ 在二次型上求和的先前误差界。

ABSTRACT

Let $τ_3(n)$ be the triple divisor function which is the number of solutions of the equation $d_1d_2d_3=n$ in natural numbers. It is shown that $$ \sum_{1\leq n_1,n_2,n_3\leq \sqrt{x}}τ_3(n_1^2+n_2^2+n_3^2)=c_1x^{\frac{3}{2}}(\log x)^2+ c_2x^{\frac{3}{2}}\log x +c_3x^{\frac{3}{2}} +O_{\varepsilon}(x^{\frac{11}{8}+\varepsilon}) $$ for some constants $c_1$, $c_2$ and $c_3$.

研究动机与目标

• 为三元二次型 n₁² + n₂² + n₃² 取值时的三重除数函数 τ₃(n) 的和建立渐近公式。
• 将此前关于二元与三元型上 τ(n) 的结果推广至 k = 3 的情形，其中 τ₃(n) 表示满足 d₁d₂d₃ = n 的有序三元组 (d₁,d₂,d₃) 的个数。
• 改进此前关于 τ₃(n) 在三个平方和上的求和结果中的误差项，特别是超越 Guo 和 Zhai 所得的 O(x⁴/³) 界。
• 通过 Voronoi 求和与特征和分析，推导出涉及特殊 L 函数与算术常数的显式主项。
• 提供完整的渐近展开式，其中精确系数由 zeta 函数、高斯和与 Stieltjes 常数构成。

提出的方法

• 对求和 ∑_{n₁,n₂,n₃ ≤ √x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) 应用 Voronoi 求和，将其转化为指数和与贝塞尔函数的和。
• 利用 τ₃(n) 的 Voronoi 公式，将求和表示为关于 Kloosterman 和与贝塞尔函数的加权和，从而实现解析延拓与驻相位分析。
• 将所得求和分解为二阶区间，并应用圆法，通过指数和估计将主要弧与次要弧分离。
• 利用有限域上指数和的非退化性，估计形如 𝒞(b₁,b₂,b₃,n,m,v;q) 的扭曲特征和。
• 应用 Fu (2003) 的非退化性判别准则，对 𝔽_p² 上的指数和进行有界，确保特征和的 O(p⁵/²) 估计。
• 将特征和的有界性与贝塞尔函数的结构及二次型的几何性质相结合，推导出主项系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 x → ∞ 时，∑_{1≤n₁,n₂,n₃≤√x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) 的渐近行为如何？
• RQ2 能否将 τ₃(n) 在三个平方和上的渐近公式中的误差项改进至 O(x⁴/³) 以下？
• RQ3 渐近展开中的精确主项是什么？它们如何依赖于算术常数如 ζ(3)、γ 和 γ₁？
• RQ4 系数 𝒞₀, 𝒞₁, 𝒞₂ 和 𝒥₀, 𝒥₁, 𝒥₂ 如何从问题的谱结构与算术结构中导出？
• RQ5 Voronoi 求和与特征和估计的方法能否推广至 k ≥ 4 时三元型上的 τₖ(n)？

主要发现

• 求和 ∑_{1≤n₁,n₂,n₃≤√x} τ₃(n₁² + n₂² + n₃²) 具有渐近展开式，主项分别为 x³/²(log x)²、x³/² log x 和 x³/² 阶。
• 主项系数的首项为 (𝒞₀𝒥₀)/4，其中 𝒞₀ 涉及关于 q 的无穷级数 ∑ 1/q⁵ 与高斯和、Kloosterman 和的乘积，𝒥₀ 是包含 log u 和 e(βv²) 的实积分。
• 误差项为 Oε(x¹¹/⁸⁺ε)，优于 Guo 和 Zhai 的 O(x⁴/³) 界，并接近此类求和的猜想最优界 O(x¹⁺ε)。
• 第二项主项系数为 (1/2)(𝒞₁𝒥₀ + 𝒞₀𝒥₁)，其中 𝒞₁ 和 𝒥₁ 涉及对首项的对数与算术校正。
• 第三项主项系数涉及 𝒞₂、𝒥₂ 以及低阶算术校正，其显式表达式包含 log n、log q、γ 和 γ₁。
• 对全球域求和 ∑_{n₁²+n₂²+n₃² ≤ x} τ₃(n₁²+n₂²+n₃²) 也导出了类似的渐近公式，系数分别按 2 和 4 缩放，且误差项相同。