[论文解读] Sumudu Transform of Hilfer-Prabhakar Fractional Derivatives and Applications

Satish K. Panchal, Amol D. Khandagale+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文推导了Hilfer-Prabhakar分数阶导数及其正则化版本的Sumudu变换，建立了涉及三参数Mittag-Leffler函数的关系式。利用傅里叶变换与Sumudu变换相结合的技术，将这些结果应用于求解物理学中的非齐次Cauchy型分数阶微分方程，得到了以广义Mittag-Leffler函数表示的显式解。

ABSTRACT

In this paper the Sumudu transforms of Hilfer-Prabhakar fractional derivative and regularized version of Hilfer-Prabhakar fractional derivative are obtained. These results are used to obtain relation between them involving Mittag- Leffler function. Also these results are applied to solve some problems in physics. Here the solutions of problems involving Hilfer-Prabhakar fractional derivative and regularized version of Hilfer-Prabhakar fractional derivative are obtained by using Fourier and Sumudu transform techniques.

研究动机与目标

• 推导Hilfer-Prabhakar分数阶导数及其正则化版本的Sumudu变换。
• 建立涉及三参数Mittag-Leffler函数的两个导数之间的函数关系。
• 将推导出的变换应用于求解物理学中出现的非齐次Cauchy型分数阶微分方程。
• 展示Sumudu变换在求解具有复杂记忆核的分数阶PDE方面的有效性。

提出的方法

• 利用Prabhakar积分算子和三参数Mittag-Leffler函数，推导Hilfer-Prabhakar分数阶导数的Sumudu变换。
• 在偏微分方程中，对空间变量应用傅里叶变换，对时间变量应用Sumudu变换。
• 利用Sumudu变换的卷积性质和正则化Hilfer-Prabhakar导数的定义，推导解的表示形式。
• 通过逆Sumudu变换和逆傅里叶变换，将解重构回原始域。
• 将解表示为包含由分数阶阶数和记忆效应导出的参数的广义Mittag-Leffler函数的无穷级数形式。
• 通过在变换域中验证初始条件和边界条件，验证解的过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有三参数Mittag-Leffler核的Hilfer-Prabhakar分数阶导数的Sumudu变换是什么？
• RQ2 Hilfer-Prabhakar导数与其正则化版本如何通过Mittag-Leffler函数关联？
• RQ3 Sumudu变换技术能否有效应用于求解非齐次Cauchy型分数阶微分方程？
• RQ4 当Hilfer-Prabhakar导数控制时间分数阶扩散方程时，解的形式如何？
• RQ5 参数ρ, μ, ν, γ, ω如何影响变换域中解的结构？

主要发现

• Hilfer-Prabhakar分数阶导数的Sumudu变换被推导为一个涉及三参数Mittag-Leffler函数和变换变量u的函数。
• 通过Mittag-Leffler函数，建立了Hilfer-Prabhakar导数与其正则化版本之间的直接关系，表明正则化形式对应于修改后的核结构。
• 涉及Hilfer-Prabhakar导数的Cauchy问题的解表示为傅里叶积分，其系数包含形式为 $ E_{ ho, u(1- u)+ u(1- u)}^{ ueta} $ 的Mittag-Leffler函数。
• 对于正则化版本，解以 $ t^{n heta} E_{ ho,n heta+1}^{neta}( ho t^{ ho}) $ 的级数展开形式给出，其中 $ heta = u $。
• 证明了Hilfer-Prabhakar导数控制的时间分数阶扩散方程的解在条件 $ ho > 0 $，$ ext{Re}( ho) > 0 $，且 $ ext{Re}( u(1- u)) > 0 $ 下收敛。
• 该方法通过使用Prabhakar核，成功将经典扩散解推广到具有幂律记忆效应的分数阶模型。