[论文解读] Sup-norm adaptive simultaneous drift estimation for ergodic diffusions

Cathrine Aeckerle-Willems, Claudia Strauch|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对遍历扩散过程中非参数漂移估计的基于数据的带宽选择方法，通过 Lepski 方法和经验过程的统一指数不等式，实现了极小极大上确界范数收敛速率。在漂移系数的正则性条件较弱的情况下，该方法同时实现了最优速率的漂移估计器和半参数高效的不变密度估计器。

ABSTRACT

We consider the question of estimating the drift and the invariant density for a large class of scalar ergodic diffusion processes, based on continuous observations, in $\sup$-norm loss. The unknown drift $b$ is supposed to belong to a nonparametric class of smooth functions of unknown order. We suggest an adaptive approach which allows to construct drift estimators attaining minimax optimal $\sup$-norm rates of convergence. In addition, we prove a Donsker theorem for the classical kernel estimator of the invariant density and establish its semiparametric efficiency. Finally, we combine both results and propose a fully data-driven bandwidth selection procedure which simultaneously yields both a rate-optimal drift estimator and an asymptotically efficient estimator of the invariant density of the diffusion. Crucial tool for our investigation are uniform exponential inequalities for empirical processes of diffusions.

研究动机与目标

• 开发一种自适应的、完全基于数据的带宽选择方法，用于连续时间遍历扩散过程中的非参数漂移估计。
• 在漂移系数平滑性未知的条件下，建立 Nadaraya–Watson 类型漂移估计器的极小极大最优上确界范数收敛速率。
• 在上确界范数拓扑下，证明经典核估计器的不变密度的 Donsker 型定理。
• 在给定正则性假设下，证明不变密度估计器的半参数效率。
• 通过构建单一的带宽选择，统一漂移估计与密度估计任务，同时实现漂移估计的最优性和不变密度的效率。

提出的方法

• 利用 Lepski 方法进行自适应带宽选择，以在不预先知道漂移平滑性的情况下实现极小极大上确界范数收敛速率。
• 将扩散过程的经验过程的统一指数不等式作为关键技术工具，以控制上确界范数偏差。
• 通过使用紧台支集函数类和最大不等式的方法，实施局部化程序，以处理无界状态空间并确保有限的覆盖数。
• 在局部化函数类上使用混合尾部增量的链式论证，以推导矩界和集中不等式。
• 结合矩界和集中不等式，推导漂移估计器和不变密度估计器的上确界范数风险界。
• 通过证明在 ℓ∞(ℝ) 中的渐近正态性并匹配 Cramér–Rao 下界，建立不变密度估计器的半参数效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种完全基于数据的带宽选择程序，使得在遍历扩散过程中，同时实现漂移估计器的极小极大上确界范数收敛速率和不变密度估计器的半参数效率？
• RQ2 当漂移系数的平滑性未知且可能无界时，非参数漂移估计的最优上确界范数收敛速率是什么？
• RQ3 在 ℓ∞(ℝ) 拓扑下，经典核估计器的不变密度在何种条件下实现渐近正态性和半参数效率？
• RQ4 如何利用扩散过程的经验过程的统一指数不等式来控制非参数估计中的上确界范数偏差？
• RQ5 连续观测的理论框架在多大程度上可以推广到离散观测方案和多变量扩散过程？

主要发现

• 所提出的自适应带宽选择程序在非参数 Hölder 类上实现了漂移估计器的极小极大最优上确界范数收敛速率，即使漂移的平滑性未知亦成立。
• 在漂移的正则性条件较弱的情况下，经典核估计器的不变密度被证明在 ℓ∞(ℝ) 中渐近正态且半参数高效。
• 在上确界范数下，为不变密度估计器建立了 Donsker 型定理，证实其弱收敛于 ℓ∞(ℝ) 中的高斯过程。
• 为扩散过程的经验过程推导出的统一指数不等式，能够对上确界范数偏差实现紧密控制，这对非渐近分析至关重要。
• 通过紧台支集函数与最大不等式的局部化程序，确保了可积性，并在 ℝ 上覆盖数无限的情况下仍能实施链式论证。
• 通过单一带宽选择同时实现漂移估计的最优速率与效率，带宽由基于数据的 Lepski 方法选择。