[论文解读] Super-convergence analysis on exponential integrator for stochastic heat equation driven by additive fractional Brownian motion

Jialin Hong, Chuying Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文首次建立了由 Hurst 参数 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ 的无限维分数布朗运动驱动的随机偏微分方程全离散格式在时间方向上的超收敛结果。通过结合马利avin微积分、伊滕积分的 $ L^p $-估计以及拉普拉斯算子的光滑效应，作者证明了在初始数据、非线性项和噪声满足适当正则性假设下，指数积分格式在时间方向上实现了强收敛阶 1，该结果超过了解的时间 Hölder 正则性，标志着在分数布朗噪声驱动的 SPDE 中时间方向上的首次超收敛现象。

ABSTRACT

In this paper, we consider the strong convergence order of the exponential integrator for the stochastic heat equation driven by an additive fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(\frac12,1)$. By showing the strong order one of accuracy of the exponential integrator under appropriote assumptions, we present the first super-convergence result in temporal direction on full discretizations for stochastic partial differential equations driven by infinite dimensional fractional Brownian motions with Hurst parameter $H\in(\frac12,1)$. The proof is a combination of Malliavin calculus, the $L^p(Ω)$-estimate of the Skorohod integral and the smoothing effect of the Laplacian operator.

研究动机与目标

• 建立由无限维分数布朗运动驱动、Hurst 参数 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ 的随机热方程全离散格式在时间方向上的首个超收敛结果。
• 在初始数据、非线性项和噪声满足适当正则性假设下，分析指数积分格式在随机热方程中的强收敛阶。
• 通过采用马利avin微积分与伊滕积分的 $ L^p $-估计，克服分数布朗运动驱动 SPDE 中缺乏 Burkholder–Davis–Gundy 不等式的困难。
• 证明时间方向的收敛阶可超过解的时间 Hölder 正则性，即使解的 Hölder 连续性受限于 $ H $，仍可实现阶为 1 的收敛。

提出的方法

• 采用带有加法无限维分数布朗运动（Hurst 参数 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $）的随机热方程的弱形式。
• 应用马利avin微积分分析关于分数布朗运动的伊滕积分，从而精确估计随机项。
• 利用伊滕积分的 $ L^p(\Omega) $-估计控制解中随机分量的误差。
• 利用负拉普拉斯算子生成的解析半群的光滑效应，增强解的时间行为正则性。
• 通过将全局误差分解为确定性和随机部分，结合分数阶微积分与马利avin积分技术分析误差界。
• 利用拉普拉斯算子的谱分解及特征值 $ \lambda_i = i^2\pi^2 $ 的估计，控制希尔伯特-施密特范数下误差项的可和性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由无限维分数布朗运动驱动的 SPDE，指数积分格式是否能在强收敛阶上超过解的时间 Hölder 正则性？
• RQ2 在加法分数布朗噪声驱动的随机热方程中，指数积分格式在时间方向上的精确强收敛阶是多少？
• RQ3 如何有效结合马利avin微积分与 $ L^p $-估计，以分析 SPDE 中由分数布朗运动驱动的随机积分？
• RQ4 在初始数据、非线性项和噪声满足何种正则性条件下，此类 SPDE 的全离散格式会在时间方向上出现超收敛？
• RQ5 指数积分格式的收敛阶是否严格大于 $ H $，其依赖关系如何随正则性参数 $ \gamma $ 变化？

主要发现

• 在满足假设 1–3 且 $ \gamma > \max\{3-2H, \frac{3}{2}\} $ 的条件下，指数积分格式在由加法无限维分数布朗运动驱动、$ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ 的随机热方程中，实现了时间方向上的强收敛阶 1。
• 该结果是首次在无限维分数布朗运动驱动的 SPDE 全离散格式中实现时间方向上的超收敛现象。
• 收敛阶超过了受 $ H $ 限制的解的时间 Hölder 连续性，从而证实了超收敛现象的存在。
• 证明依赖于马利avin微积分对伊滕积分的估计、$ L^p $-估计对随机误差的控制，以及拉普拉斯算子光滑效应的结合。
• 误差界在空间 $ L^2 $-范数下为 $ \mathcal{O}(h^2) $，时间收敛阶为 1，因此在均方意义下整体误差为 $ \mathcal{O}(h^2) $。
• 作者推测，当 $ 1 < \gamma \leq \max\{3-2H, \frac{3}{2}\} $ 时，收敛阶介于 $ H $ 与 1 之间，表明其对 $ \gamma $ 具有非平凡依赖关系。