[论文解读] Super edge-connectivity and matching preclusion of data center networks

Huazhong Lü, Tingzeng Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Interconnection Networks and Systems被引用 4

一句话总结

本文建立了DCell数据中心网络的超边连通性和匹配预clusion性质，证明了当 $k \geq 2, n \geq 2$ 时，$D_{k,n}$ 是超-λ；当 $k \geq 3, n \geq 2$ 或 $k=2,n=2$ 时，$D_{k,n}$ 是超-λ₂；当 $k \geq 4, n \geq 3$ 时，$D_{k,n}$ 是超-λ₃。此外，本文确定了匹配预clusion数 $mp(D_{k,n}) = n+k-1$ 和条件匹配预clusion数 $mp_1(D_{k,n}) = 2n+2k-5$（当 $k \geq 3, n \geq 3$ 时），并表明在特定条件下 $D_{k,n}$ 是超匹配和条件超匹配的。

ABSTRACT

Edge-connectivity is a classic measure for reliability of a network in the presence of edge failures. $k$-restricted edge-connectivity is one of the refined indicators for fault tolerance of large networks. Matching preclusion and conditional matching preclusion are two important measures for the robustness of networks in edge fault scenario. In this paper, we show that the DCell network $D_{k,n}$ is super-$λ$ for $k\geq2$ and $n\geq2$, super-$λ_2$ for $k\geq3$ and $n\geq2$, or $k=2$ and $n=2$, and super-$λ_3$ for $k\geq4$ and $n\geq3$. Moreover, as an application of $k$-restricted edge-connectivity, we study the matching preclusion number and conditional matching preclusion number, and characterize the corresponding optimal solutions of $D_{k,n}$. In particular, we have shown that $D_{1,n}$ is isomorphic to the $(n,k)$-star graph $S_{n+1,2}$ for $n\geq2$.

研究动机与目标

• 分析DCell网络 $D_{k,n}$ 的 $k$-受限边连通性，以评估其可靠性和容错能力。
• 确定匹配预clusion数 $mp(D_{k,n})$ 和条件匹配预clusion数 $mp_1(D_{k,n})$，作为应对边故障时鲁棒性的度量。
• 表征最优匹配预clusion集合，并确定 $D_{k,n}$ 是否为超匹配或条件超匹配。
• 阐明 $D_{1,n}$ 与 $(n+1,2)$-星图 $S_{n+1,2}$ 之间的结构关系，证明当 $n \geq 2$ 时二者同构。

提出的方法

• 通过边割隔离性质和连通性界，证明当 $k \geq 2, n \geq 2$ 时，$D_{k,n}$ 是超-λ。
• 通过 $k$-受限边割分析和最小边割表征，建立超-λ₂ 和超-λ₃ 性质。
• 利用 $k$-受限边连通性结果推导匹配预clusion数的界，借助 $\lambda_k(G) = \xi_k(G)$（适用于 $\lambda_k$-最优图）。
• 应用定理 4.2–4.6，将边连通性性质与匹配预clusion联系起来，利用 $\alpha(G)$（独立数）的界来排除非平凡阻塞集合。
• 为 $D_{1,n}$ 定义并分析半平凡匹配预clusion集合，表明其在 $n$ 为偶数时对最优解起关键作用。
• 利用 $D_{k,n}$ 的结构特性，包括正则性（$r = n+k-1$）以及删边后的连通分量行为，证明其超匹配性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $k$ 和 $n$ 值，DCell网络 $D_{k,n}$ 是超-λ、超-λ₂ 或超-λ₃？
• RQ2 匹配预clusion数 $mp(D_{k,n})$ 的精确值是多少？在何种条件下网络是超匹配的？
• RQ3 条件匹配预clusion数 $mp_1(D_{k,n})$ 是多少？在何种条件下 $D_{k,n}$ 是条件超匹配的？
• RQ4 $D_{1,n}$ 的结构如何与 $(n+1,2)$-星图 $S_{n+1,2}$ 相关联？该同构关系对匹配预clusion有何影响？
• RQ5 非平凡最优匹配预clusion集合是否可能存在于 $D_{k,n}$ 中？在何种条件下所有最优集合均为平凡或半平凡？

主要发现

• 当所有 $k \geq 2$ 且 $n \geq 2$ 时，DCell网络 $D_{k,n}$ 是超-λ，表明其在边故障下具有高度容错能力。
• $D_{k,n}$ 在 $k \geq 3, n \geq 2$ 或 $k=2,n=2$ 时为超-λ₂，在 $k \geq 4, n \geq 3$ 时为超-λ₃，确认其在多重边故障下具有更精细的鲁棒性。
• 当 $k \geq 2, n \geq 2$ 时，匹配预clusion数为 $mp(D_{k,n}) = n + k - 1$，且 $D_{k,n}$ 是超匹配，即所有最优解均为平凡集合。
• 当 $k \geq 3, n \geq 3$ 时，条件匹配预clusion数为 $mp_1(D_{k,n}) = 2n + 2k - 5$，且 $D_{k,n}$ 是条件超匹配。
• 当 $k \geq 2, n = 2$ 时，条件匹配预clusion数为 $mp_1(D_{k,2}) = 2n + 2k - 4$，且当 $k \geq 3$ 时 $D_{k,2}$ 是条件超匹配。
• $D_{1,n}$ 与 $(n+1,2)$-星图 $S_{n+1,2}$ 同构（当 $n \geq 2$ 时），且 $mp(D_{1,n}) = n$，其超匹配行为取决于 $n$ 的奇偶性。