[论文解读] Super edge-magic deficiency of join-product graphs

Anak Agung Gede Ngurah, Rinovia Simanjuntak|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文研究了连通图的超级边魔法缺陷，具体包括去掉一条辐条边的轮图 $W_n - \{e\}$ 以及路径、星图、环图与孤立顶点的连通图积。研究证明了这些图具有有限的超级边魔法缺陷，并为特定家族（如 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ 和 $C_n + \overline{K_m}$）建立了紧致的上下界。此外，通过一种标签构造方法，将结果推广至任意超级边魔法图，证明其与孤立顶点的连通图积的超级边魔法缺陷为有限值。

ABSTRACT

A graph $G$ is called extit{super edge-magic} if there exists a bijective function $f$ from $V(G) \cup E(G)$ to $\{1, 2, \ldots, |V(G) \cup E(G)|\}$ such that $f(V(G)) = \{1, 2, \ldots, |V(G)|\}$ and $f(x) + f(xy) + f(y)$ is a constant $k$ for every edge $xy$ of $G$. Furthermore, the extit{super edge-magic deficiency} of a graph $G$ is either the minimum nonnegative integer $n$ such that $G \cup nK_1$ is super edge-magic or $+\infty$ if there exists no such integer. \emph{Join product} of two graphs is their graph union with additional edges that connect all vertices of the first graph to each vertex of the second graph. In this paper, we study the super edge-magic deficiencies of a wheel minus an edge and join products of a path, a star, and a cycle, respectively, with isolated vertices.

研究动机与目标

• 确定轮图 $W_n - \{e\}$（即去掉一条辐条边的轮图）的超级边魔法缺陷，并证明其为有限值。
• 分析路径、星图、环图与孤立顶点连通图积 $P_n + \overline{K_m}$、$K_{1,n} + \overline{K_m}$ 和 $C_n + \overline{K_m}$ 的超级边魔法缺陷。
• 将结果推广，证明任意超级边魔法图与 $m$ 个孤立顶点的连通图积具有有限的超级边魔法缺陷。
• 为 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ 和 $C_n + \overline{K_m}$ 提供在不同 $n$ 和 $m$ 下的缺陷的紧致上下界。
• 提出未来研究的开放问题，包括改进边界以及确定特定图族的精确缺陷值。

提出的方法

• 使用引理1，通过顶点标签刻画超级边魔法图，使得边和构成 $q$ 个连续整数的集合。
• 应用引理2，该引理给出图具有超级边魔法性质的必要条件：$q \leq 2p - 3$。
• 通过使用值 $\{n+2\}, \{2,3,\dots,n+1\}, \{1, 2(n+1), \dots, m(n+1)\}$ 构造 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ 的显式顶点标签，实现具有确定魔法常数的超级边魔法标签。
• 对于奇数 $n$ 的 $C_n + \overline{K_m}$，根据索引奇偶性定义顶点标签，并将值 $\{1, 2n+1, 3n+1, \dots, mn+1\}$ 分配给孤立顶点。
• 使用标签扩展技术，证明添加 $t$ 个孤立顶点可使图成为超级边魔法图，从而界定缺陷。
• 将构造推广至任意超级边魔法图 $G$，通过为 $m$ 个孤立顶点分配标签 $\{s, s+|V(G)|, \dots, s+(m-1)|V(G)|\}$，其中 $s = \max\{f(u)+f(v) \mid uv \in E(G)\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 3$，去掉一条辐条边的轮图 $W_n - \{e\}$ 的超级边魔法缺陷是多少？
• RQ2 对于 $K_{1,n} + \overline{K_m}$，其超级边魔法缺陷的紧致上下界是什么？
• RQ3 当 $n$ 为偶数时，能否为 $C_n + \overline{K_m}$ 的超级边魔法缺陷建立上界？
• RQ4 对于任意超级边魔法图 $G$，其与 $\overline{K_m}$ 的连通图积 $G + \overline{K_m}$ 的超级边魔法缺陷是否为有限值？
• RQ5 在 $K_{1,n} + \overline{K_m}$ 中，对于固定的 $n$ 或 $m$，$\mu_s(G + \overline{K_m})$ 的精确值是多少？

主要发现

• 图 $H_n \cong W_n - \{e\}$（其中 $e$ 为一条辐条边）是超级边魔法图当且仅当 $n \leq 4$，因此当 $n \leq 4$ 时缺陷为 0。
• 对于 $n, m \geq 2$ 的 $K_{1,n} + \overline{K_m}$，其超级边魔法缺陷满足 $\lceil \frac{1}{2}(n-1)(m-1) \rceil \leq \mu_s(K_{1,n} + \overline{K_m}) \leq n(m-1) - 1$。
• 当 $n \geq 3$ 且为奇数时，$C_n + \overline{K_m}$ 的超级边魔法缺陷满足 $\mu_s(C_n + \overline{K_m}) \leq mn - (n + m) + 1$。
• 当 $n \geq 3$，$m \geq 2$ 时，$\mu_s(C_n + \overline{K_m})$ 的下界为 $\lfloor \frac{1}{2}(m+1)n \rfloor - (n + m) + 2$。
• 对于任意超级边魔法图 $G$，其与 $\overline{K_m}$ 的连通图积 $G + \overline{K_m}$ 具有有限的超级边魔法缺陷，且满足 $\mu_s(G + \overline{K_m}) \leq s + (m-2)|V(G)| - m$，其中 $s = \max\{f(u)+f(v) \mid uv \in E(G)\}$。
• 本文证明了任意超级边魔法图与孤立顶点的连通图积均具有有限的超级边魔法缺陷，从而推广了此前关于路径、星图和环图的研究结果。