[论文解读] Super-phenomena in arbitrary quantum observables

Andrew N. Jordan, Yakir Aharonov+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文通过弱值将超振荡现象——通常在限带函数中观察到——推广至任意量子可观测量。通过预选具有有界本征值的本征态叠加态，并在位置上进行后选，任何算符的弱值均可超出其本征值范围，从而产生‘超行为’，如超能量或超角动量。关键结果是构建了一个完全由渐近能量为零的态组成的有限能量量子态，证明了在叠加规模趋于无穷大时，‘从无到有’产生能量的数学严谨性。

ABSTRACT

Superoscillations occur when a globally band-limited function locally oscillates faster than its highest Fourier coefficient. We generalize this effect to arbitrary quantum mechanical operators as a weak value, where the preselected state is a superposition of eigenstates of the operator with eigenvalues bounded to a range, and the postselection state is a local position. Superbehavior of this operator occurs whenever the operator's weak value exceeds its eigenvalue bound. We give illustrative examples of this effect for total angular momentum and energy. In the later case, we demonstrate a sequence of harmonic oscillator potentials where a finite energy state converges everywhere on the real line, using only bounded superpositions of states whose asymptotic energy vanishes - "energy out of nothing". This limit requires postselecting the particle in a region whose size diverges in the considered limit. We further show that superenergy behavior implies that the state superoscillates in time with a rate given by the superenergy divided by the reduced Planck's constant. This example demonstrates the possibility of mimicking a high-energy state with coherent superpositions of nearly zero-energy states for as wide a spatial region as desired. We provide numerical evidence of these features to further bolster and elucidate our claims.

研究动机与目标

• 将超振荡概念从动量推广至使用弱值的任意量子可观测量。
• 解决一个开放问题：超振荡行为能否推广至能量和角动量等其他可观测量？
• 构造一组量子态序列，使得在极限下，有限能量态可从渐近能量趋于零的态叠加中出现。
• 证明空间中的超行为意味着时间上的超振荡，且其频率与超能量成正比。
• 为将超振荡应用于微分算符和谱论（超越量子力学）提供数学与数值基础。

提出的方法

• 将超行为定义为：当在位置上后选时，任意算符的弱值超出其本征值范围。
• 使用预选态作为可观测量本征态的叠加，且其本征值被限制在有界区间内。
• 应用量子力学中弱值的形式体系，计算特定位置处有效算符的行为。
• 构造一组谐振子势，使得叠加态的能量本征值在极限下趋于零。
• 利用谱分解与渐近分析，证明叠加态在整个实直线上收敛至有限能量波函数。
• 进行数值模拟，验证波函数的收敛性以及时间中超振荡的出现，特别是谐振子情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过弱值将超振荡从动量推广至任意量子可观测量？
• RQ2 能否从每个态渐近能量为零的叠加中构造出有限能量的量子态？
• RQ3 空间中的超行为是否意味着时间上的超振荡？若是，其频率为何？
• RQ4 空间超能量与波函数时间振荡速率之间有何关系？
• RQ5 超振荡行为能否扩展至微分算符与谱论（超越量子力学）？

主要发现

• 在叠加态渐近能量趋于零的极限下，可数学严谨地构造出有限能量态，证明了‘从无到有’产生能量的可行性。
• 在空间某一区域，能量算符的弱值超出其本征值范围，定义了超能量行为的点。
• 尽管每个分量态的渐近能量为零，波函数在实直线处处收敛至有限能量态。
• 超能量行为意味着时间上的超振荡，其频率为超能量除以 ℏ，谐振子情形下已通过数值验证。
• 数值上观察到叠加态在时间上收敛至平面波，当 N = 1000 时吻合良好，表明在 t = 0 附近存在稳定的超振荡。
• 随着 N 增大，超振荡发生的时域范围扩展，表明超能量效应具有较宽的时间有效性范围。