[论文解读] Super Polyharmonic Property of Solutions for PDE Systems and Its Applications

Wenxiong Chen, Congming Li|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 34被引用 16

一句话总结

本文建立了多调和PDE系统正解的超多调和性质，证明了所有阶数至 $k-1$ 的迭代拉普拉斯算子均为正。此外，当 $α = 2k < n$ 时，进一步证明了此类PDE系统与积分系统之间的等价性，从而可通过积分形式的移动平面法，将积分系统的对称性与分类结果转移至PDE系统。

ABSTRACT

In this paper, we prove that all the positive solutions for the PDE system (-Δ)^{k}u_{i} = f_{i}(u_{1},..., u_{m}), x \in R^{n}, i = 1, 2,..., m are super polyharmonic, i.e. (-Δ)^{j}u_{i} &gt; 0, j = 1, 2,..., k - 1; i = 1, 2,...,m. To prove this important super polyharmonic property, we introduced a few new ideas and derived some new estimates. As an interesting application, we establish the equivalence between the integral system u_{i}(x) = \int_{R^{n}} \frac{1}{|x - y|^{n-α}}f_{i}(u_{1}(y),..., u_{m}(y))dy, x \in R^{n} and PDE system when α? = 2k &lt; n

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^n$ 上建立 $m$ 个分量的多调和PDE系统正解的超多调和性质。
• 证明当 $\alpha = 2k < n$ 时，多调和PDE系统 $(-\Delta)^k u_i = f_i(u_1, \dots, u_m)$ 与其对应的积分系统等价。
• 通过已建立的等价性，将积分系统中的对称性、先验估计及非存在性结果推广至PDE系统。
• 引入新的分析技巧与估计方法，以在缺乏局部最大值原理的情况下证明超多调和性质。
• 通过分布解与傅里叶分析，将积分形式的移动平面法推广至PDE系统。

提出的方法

• 引入一类具有缩放性质 $\phi_r(x) = r^{-(n-2k)} \phi_1(x/r)$ 的新测试函数 $\phi_r(x)$，以分析解在无穷远处的行为。
• 利用分部积分与格林表示公式，将PDE解与包含基本解 $|x|^{-(n-2k)}$ 的积分联系起来。
• 应用勒贝格控制收敛定理，令 $r \to \infty$ 取极限，证明沿序列 $r_h \to \infty$ 边界积分趋于零。
• 通过傅里叶变换定义分布意义下的解，要求 $u_i \in H^{\alpha/2}(\mathbb{R}^n)$，并验证PDE在弱意义下成立。
• 通过傅里叶反演与卷积恒等式，证明PDE系统与积分系统之间的等价性，即一个系统的解是另一个系统解的常数倍。
• 通过已证明的等价性，将积分系统中已知的移动平面方法结果转移至PDE系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 多调和PDE系统 $(-\Delta)^k u_i = f_i(u_1, \dots, u_m)$ 的所有正解是否均为超多调和的，即是否对 $j = 1, \dots, k-1$ 有 $(-\Delta)^j u_i > 0$ 成立？
• RQ2 当 $\alpha = 2k < n$ 时，多调和PDE系统在何种条件下与对应的积分系统等价？
• RQ3 能否将通过积分形式移动平面对积分系统所获得的对称性与分类结果推广至PDE系统？
• RQ4 在解具有非局部性且无法依赖局部最大值原理的情况下，如何证明超多调和性质？
• RQ5 在傅里叶变换与卷积的意义下，PDE的分布解与积分方程解之间的确切关系为何？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^n$ 上，PDE系统 $(-\Delta)^k u_i = f_i(u_1, \dots, u_m)$ 的所有正解均为超多调和的：对 $j = 1, \dots, k-1$ 与 $i = 1, \dots, m$，有 $(-\Delta)^j u_i > 0$。
• 当 $\alpha = 2k < n$ 时，PDE系统与积分系统等价：$u_i(x) = c \int_{\mathbb{R}^n} |x-y|^{-(n-2k)} f_i(u(y)) \, dy$，即一个系统的解是另一个系统解的常数倍。
• 等价性在分布意义下成立：若 $u_i \in H^{\alpha/2}(\mathbb{R}^n)$ 以弱形式解PDE，则其满足积分方程，反之亦然。
• 通过等价性，现在可将积分形式的移动平面法应用于PDE系统，从而实现径向对称性与分类结果的转移。
• 证明依赖于边界积分的渐近衰减估计，以及具有 $|x|^{-(n-2k)}$ 衰减的基本解，该结论通过傅里叶分析得到验证。
• 通过傅里叶变换与卷积建立等价性：$\hat{u}_i(\xi) = c |\xi|^{-\alpha} \widehat{f_i(u)}(\xi)$，从而将PDE与积分形式联系起来。