[论文解读] Super-positivity of a family of L-functions

Dorian Goldfeld, Bingrong Huang|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了在 $SL(2,\mathbb{Z})$ 上存在无穷多类模形式，其对应的 $L$-函数表现出超正性——即在 $s=1/2$ 处，完整 $L$-函数的所有导数均为非负。证明依赖于截断技巧与矩估计，表明该族中正密度的 $L$-函数满足超正性条件，并给出了此类形式密度的显式上界。

ABSTRACT

Zhiwei Yun and Wei Zhang introduced the notion of "super-positivity of self dual L-functions" which specifies that all derivatives of the completed L-function (including Gamma factors and power of the conductor) at the central value $s = 1/2$ should be non-negative. They proved that the Riemann hypothesis implies super-positivity for self dual cuspidal automorphic L-functions on $GL(n)$. Super-positivity of the Riemann zeta function was established by Pólya in 1927 and since then many other cases have been found by numerical computation. In this paper we prove, for the first time, that there are infinitely many L-functions associated to modular forms for $SL(2, \mathbb{Z})$ each of which has the super-positivity property. Our proof also establishes that all derivatives of the completed L-function at any real point $σ> 1/2$ must be positive.

研究动机与目标

• 建立 $GL(2,\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 上自对偶尖点梅尔古拉函数 $L$-函数存在无穷多组具有超正性性质。
• 证明对于这些 $L$-函数，其完整 $L$-函数在 $s=1/2$ 处的所有导数均为非负。
• 将超正性推广至所有实数 $\sigma > 1/2$，表明在此区域所有导数严格为正。
• 提供一种构造性方法，通过零点区域估计与导数符号分析，验证单个 $L$-函数的超正性。

提出的方法

• 使用一族光滑截断函数对 $L$-函数进行截断，以控制 $L$-函数及其导数的大小。
• 利用近似函数方程与积分变换，将 $L$-函数值与谱族上的平均值联系起来。
• 应用 $|L(\sigma + it, f)|^2$ 的矩估计，以控制截断后 $L$-函数及其导数的大小。
• 通过零密度界限与积分控制法，估计在 $\sigma > 1/2$ 附近临界带内无零点的 $L$-函数密度。
• 利用函数方程与对称性，将 $s=1/2$ 处的值与右半平面的值关联，从而实现导数符号分析。
• 对涉及双曲函数与三角函数的积分进行数值计算，推导出违反超正性的 $L$-函数比例的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多组 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的模 $L$-函数，使得其完整 $L$-函数在 $s=1/2$ 处的所有导数均为非负？
• RQ2 超正性是否可推广至所有实数 $\sigma > 1/2$，而不仅限于 $s=1/2$？
• RQ3 在权为偶数、级别为 1 的全模形式族中，有多少比例的 $L$-函数满足超正性条件？
• RQ4 能否通过零点区域估计与导数符号分析，验证单个 $L$-函数的超正性？

主要发现

• 存在无穷多组权为偶数、级别为 1 的全模形式，其完整 $L$-函数在 $s=1/2$ 处的所有导数均为非负。
• 对于这些 $L$-函数，其完整 $L$-函数在任意实数 $\sigma > 1/2$ 处的所有导数均为严格正。
• 在区域 $\sigma \in (1/2,1)$，$|t| \leq \sigma - 1/2$ 内无零点的 $L$-函数比例至少为 $27\%$，表明超正性 $L$-函数具有正密度。
• 计算得到显式上界：$\mathcal{N}_1(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.19441$，$\mathcal{N}_2(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.03891$，以及 $\mathcal{N}_3(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.00989$，且尾部和 $\sum_{j=14}^{J-1} \mathcal{N}_j(K,\Phi)/\mathcal{A}(K,\Phi) \leq 0.01212$。
• 该方法确认，违反超正性的 $L$-函数集合的密度至多为 $63\%$，因此至少有 $27\%$ 的 $L$-函数为超正。