[论文解读] Super-potentials, densities of currents and number of periodic points for holomorphic maps

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用 16

一句话总结

本文通过超势能和密度方法，在紧致ケーラー多様体上为正の閉じた電流のウェッジ積を統一的な枠組みで構築し、2つの既存の手法の等価性を証明する。この理論を応用して、単純なコhomological作用をもつ正則写像の孤立した周期点の数に対する鋭い上界を導出し、作用が単純で均衡電流に連続な超勢能が存在する場合、その上界は写像の位相的次数に丁度一致することを示す。

ABSTRACT

We prove that if a positive closed current is bounded by another one with bounded, continuous or Hoelder continuous super-potentials, then it inherits the same property. There are two different methods to define wedge-products of positive closed currents of arbitrary bi-degree on compact Kaehler manifolds using super-potentials and densities. When the first method applies, we show that the second method also applies and gives the same result. As an application, we obtain a sharp upper bound for the number of isolated periodic points of holomorphic maps on compact Kaehler manifolds whose actions on cohomology are simple. A similar result still holds for a large class of holomorphic correspondences.

研究动机与目标

• 正則閉じた電流の任意の双次数について、コンパクトケーラー多様体上でのウェッジ積を定義する2つの異なるアプローチ（超勢能と密度）を統一する。
• 両手法が適用可能な場合に、それらが同じ電流を与えることを確立し、両者の利点を統合する。
• 精密な交差理論を用いて、正則写像および対応写像の孤立した周期点の数を評価する。
• コホモロジー作用が単純で、均衡電流に連続な超勢能が存在する場合、孤立した周期点の数が位相的次数によって上から抑えられることを証明する。

提出的方法

• 基準形式とコホモロジー類を用いて正則閉じた電流の超勢能を定義し、ストークスの定理により選択の独立性を保証する。
• 電流空間における収束を、質量が有界な弱位相と*-ノルムを用いて定義する。
• ある電流が、有界、連続、またはホルダー連続な超勢能を持つ電流に支配されている場合、その電流も同様の正則性を継承することを証明する。
• 超勢能の支配原理を用いて、引き戻しおよび押し出し写像による電流の成長を制御する。
• 正則写像に理論を適用するため、コホモロジーへの引き戻し作用を解析し、正規化されたグラフの弱極限として均衡電流を構成する。
• 正規化されたグラフの収束が均衡電流とその双対のテンソル積に一致することを用い、対角線との交差数に関する補題を適用して周期点の上界を導出する。

实验结果

研究问题

• RQ1 コンパクトケーラー多様体上での正則閉じた電流のウェッジ積を定義する超勢能法と密度法が、どのような条件下で同じ結果を与えるか。
• RQ2 超勢能の正則性（有界性、連続性、ホルダー連続性）は、支配される電流に継承されるか。
• RQ3 コホモロジー作用が単純なコンパクトケーラー多様体上の正則写像の孤立した周期点の数に対する鋭い上界は何か。
• RQ4 均衡電流に連続な超勢能が存在する場合、周期点の数にどのような影響を与えるか。
• RQ5 交差数の評価において、接線的h次元と対角線とのカップ積の役割は何か。

主要发现

• 正則閉じた電流のウェッジ積を定義する超勢能法と密度法は、両者が適用可能な場合に等価であり、複素幾何学における2つのアプローチを統一する。
• 有界、連続、またはホルダー連続な超勢能を持つ電流に支配される正則閉じた電流は、同様の正則性を継承する。
• コホモロジー作用が単純で、均衡電流に連続な超勢能が存在する場合、コンパクトケーラー多様体上の正則写像の孤立した周期点の数は、写像の位相的次数によって上から抑えられる。
• 写像の反復写像の正規化されたグラフは弱収束し、均衡電流とその双対のテンソル積に収束するため、交差理論の適用が可能になる。
• 極限電流と対角線との交差数はちょうど1であり、これにより補題5.11（交差多重度に関する）を用いて鋭い上界が得られる。
• 上界は鋭い：均衡電流に連続な超勢能が存在し、コホモロジー作用が単純な場合、極限電流の標準的超勢能が消えることから等号が成立することが示される。